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1、勾股定理(提高)【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2. 能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长(只限于常用的数)；3. 通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题.【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a, h ,斜边长为c ,那么a2 =c2.要点诠释：(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.(2)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目的线段长 可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，到达了解决问题的 目的.(3)理
2、解勾股定理的一些变式：cr = c1 b1, b1 = c1 crc2 =(67 + by 2ab.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形.图(1)中膏正方砌如= 0+3)2 =决+4x【湖，所以/+必=疽.2方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形.图(2)中打正方挪娜8= 9 + +)=2x【汽己+【凌,所以/+朋=疽.用=尸=0-白)2+4乂：泌，所以疽=/+朋.方法三：如图(3)所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.要点三、勾股定理的作用1. 己知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3. 与勾股
3、定理有关的面积计算；4. 勾股定理在实际生活中的应用.【典型例题】类型一、与勾股定理有关的证明AB E CDC1、在中，AB=AC, D是BC延长线上的点，求 证：AD2 - AB2 = BD DC【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化, 假设没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题.类型二、与勾股定理有关的线段长C2、如图，在等腰直角三角形ABC 4，ZABC=90。，D为AC边上中点，过D点作DE DF,交 AB 于 E,交 BC 于 F,假设 AE=4, FC=3,求 EF 长.【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三
4、角形的判定，关键是由己知先证三角形 全等，求得BE和BF,再由勾股定理求出EF的长.举一反三：【变式】（天津校级期中）如图，Z C=30, PAOA于A, PBLOB于B, PA=2, PB=11, 求OP的长.C类型三、与勾股定理有关的面积计算胡3、（丰台区二模）问题背景：在ZkABC中，AB, BC, AC三边的长分别为3血,。菖，求这个三角形的面积. 小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网 格中画出格点AABCI即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示.这样不需 要求出AABC的高，借用网格就能计算出它的面积.（1）请你直接写出 AB
5、C的面积；思维拓展：（2）如果NINP三边的长分别为寸T5, 2脂,26,请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点AMNP,并直接写出AN/INP的面积.图2【总结升华】此题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出 格点三角形，难度不是很大.举一反三：【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形.假设正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、3、4,那么最大正方形E的面积是（）77D. 94类型四、利用勾股定理解决实际问题(1)(2)、（贵阳模拟）一架梯子长25米, 这个梯子的顶端距地面有多高？ 如果梯子的
6、顶端下滑了 4米到A，,斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键.举一反三：【变式】如图，有一个圆柱，它的高等于12cm ,底面半径等于3cm ,在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（兀 取3）勾股定理（提高）【稳固练习】一.选择题如图，AABC中，D为AB中点，E在AC上，且BEAC.假设DE=10, AE=16,那么BE的长度 （ ）A. 101.为B. 11C. 12D. 132.（漳州）如图,AABC 中，AB=AC=5, BC=
7、8, 线段AD长为正整数，那么点D的个数共有（A. 5 个B. 4 个 C.1）是线段BC上的动点（不含端点B、C）.假设 ）D. 2个3.如图，长方形AOBC中,A0=8, BD=3, 上E处，那么图中阴影局部的面积为（C. 34假设将矩形沿直线AD折叠，那么顶点C恰好落在边OB）D. 164.如图，ABC中，ZABC=90 ,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线4 , /2, 4上，且 匕之间的距离为2 ,/2, 4之间的距离为3,那么A。的值是（）I）. 475.在ABC 中，AB=15, AC=13,A. 42 B. 32 C. 42 或 32高AD=12,那么ABC的周长为（
8、D. 37 或 336. （烟台）如图，正方形ABCD的边长为2,其而积标记为Si,以CD为斜边作等腰直角 三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,.按照此 规律继续下去，那么S20XX的值为（）二.填空题7. 假设一个直角三角形的两边长分别为12和5,那么此三角形的第三边的平方为8. 将一根长为15cni的很细的木棒置于底面直径为5cni,高为12cm的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的局部长度x的范围是9. 如图，在5x5的正方形网格中，以AB为边画直角ABC,使点C在格点上，这样的点C共个.10（黄冈校级自助招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个
9、小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边长为a,较长的直角边长为b,那么（a+b） 2的值是.11. 己知长方形ABCD, AB = 3cm, AD = 4cm ,过对角线BD的中点0做BD的垂直平分线EF, 分别交AD、BC于点E、F,那么AE的长为.12. （召陵区期中）如图，在四边形 ABCD 中，AB=3, BC=4, CD=12, AD=13, Z B=90, 那么四边形ABCD的面积是.三.解答题13. （青岛模拟）如图，Z MON=90,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM, ON ,当 B在边ON上运动时，A随之在边OM上
10、运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2, BC=1,求运动过程中，点D到点O的最大距离.14. 现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下列图，请把它们分割后拼接成一个新的正 方形.要求：在左下列图中用实线画出分割线，并在右下列图的正方形网格图（图中每个 小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.15. 由于过度采伐森林和破坏植被，我国局部地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A城气象 局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60 方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域.（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？（2）假设A城受这
11、次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？北西 84 东【答案与解析】一.选择题1. 【答案】c【解析VBEAC, AAAEB 是直角三角形，LD 为 AB 中点，DE=10, AAB=20, VAE=16, BE2=AB2-A2=144,所以 BE=12.2. 【答案】C【解析】过点A作AE1BC,那么由勾股定理得AE=3,点D是线段BC上的动点（不含端点B、C）.所以3WADV5, AD=3或4,共有3个符合条件的点.3. 【答案】A【解析】由题意 CD=DE=5, BE=4,设 0E=尤，AE=AC= x + 4 ,所以8? +x2 =（x + 4）2, x = 6,阴影局部面积为1x6x
12、8 + 1x4x3 = 30.224. 【答案】A【解析】如图，分别作CI） 13交于点E,作AF/3,那么可证 AFBABDC,那么AF=3 = BD, BF = CD = 2 + 3 = 5,.DF = 5 + 3 = 8 = AE ,在直角 ZAEC 中，勾股定理得 AC2 =82+22=68.5. 【答案】C【解析】高在AABC内部，第三边长为14；高在!?（：外部，第三边长为4,应选C.6. 【答案】C【解析】解：根据题意：第一个正方形的边长为2；第二个正方形的边长为：也X2；2第三个正方形的边长为：（也）2x2，第n个正方形的边长是（与）”-成2, 所以S20XX的值是（1） 21
13、2,2应选C.二.填空题7. 【答案】169或119；【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边.8. 【答案】2cmxW3cni；【解析】由题意可知BC=5cm, AC=12cm, AB=13cm.当木棒垂直于底面时露在杯子外面的 局部长度最长为，15-AC= 15-12=3cn),当木棒与AB重合时露在杯子外面的局部长度最短为 15-AB=15-13=2cm.B9.【答案】8；10.【答案】25；【解析】根据题意，结合勾股定理小顼3,四个三.角形的面积=4Xb小f .2ab=12,联立解得：（a+b） 2= 13+12=25.7【答案】cm ；811.97【解析】连接
14、 BE,设 AE= x , BE=DE=4-x,那么32 +x2 =（4-x） , x =12.【答案】36.【解析】解：.NABC=90, AB=3, BC=4,二 AC=VaB2+BC2=V32 + 42=5j在ACD 中，AC2+CD2=25+144= 169=AD2,. ACD是直角三角形，S 四边形 abcd=AB BC+AC CD22=Ax3x4+x5x!222=36.故答案是：36.三.13.解答题【解析】解：如图，取AB的中点E,连接0E、DE、0D,LODWOE+DE,.当0、D、E三点共线时，点D到点0的距离最大，【解析】如下图：有8个点满足要求.此时，VAB=2, BC=1,aoe=ae=1ab=i,2 DEVaD+A?=7P+12=2, .0D的最大值为：柄+1.14.【解析】 解：如下图:nIIJJ15.【解析】解：(1)过点A作AC1BM,垂足为C,在RtAABC中，由题意可知ZCB
