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1、高中数学单元测试(难度系数：0.55-0.41)-20150605满分:班级：_姓名：_考号：_一、单选题（共12小题）1.若（是虚数单位）是关于的方程（）的一个解，则（ ）ABCD2.甲、乙两人从4门课程中各选修2门.则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）A6种B12种C30种D36种3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c, 下列结论中错误的是（ ）Ax0R, f(x0)=0B函数y=f(x)的图象是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点, 则f(x)在区间(-, x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点, 则f(x0)=04.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红
2、球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.则（）ABCD5.已知集合，若对任意，均不存在使得成立，则称集合为“好集合”，下列集合为“好集合”的是（ ）ABCD6.如图,半径为R的半球O的底面圆O在平面内,过点O作平面的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作与平面成45角的平面与半球面相交,所得交线上到平面的距离最大的点为B,该交线上的一点P满足BOP=60,则A、P两点间的球面距离为（ ）AarccosBCarccosD7.椭圆上一点关于原点的对称点为，为其左焦点，若,设，则该椭圆的离心率为（ ）
3、ABCD8.已知函数在处有极值，则等于（ ）A11或18B11C18D17或189.抛物线的焦点为F，准线为，A、B为抛物线上的两个动点，且满足，设线段AB的中点M在上的投影为N，则的最大值为（ ）A1B2C3D410.已知复数，则的值为（ ）ABCD11.若对，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）AB1C2D12.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为原点，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD二、解答题（共5小题）13.如图，四边形为等腰梯形，为的中点，先将沿翻折到的位置，如图，且平面平面.（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.14.某高校数学系计划在周六和周
4、日各举行一次主题不同的心理测试活动, 分别由李老师和张老师负责. 已知该系共有n位学生, 每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数). 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生, 且所发信息都能收到. 记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.（）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;（）求使P(X=m)取得最大值的整数m.15.已知数列满足，.(1) 若，求的取值范围；(2) 设是公比为的等比数列，. 若，求的取值范围；(3) 若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.16.已知椭圆：，左、右两个
5、焦点分别为、，上顶点，为正三角形且周长为6（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）为坐标原点，直线上有一动点，求的最小值17.已知函数，设曲线在点处的切线方程为.如果对任意的，均有：当时，；当时，；当时，则称为函数的一个“-点”.（）判断是否是下列函数的“-点”：；.（只需写出结论）（）设函数.（）若，证明：是函数的一个“-点”；（）若函数存在“-点”，直接写出的取值范围.三、填空题（共4小题）18.已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆, 其公共弦长等于球O的半径, OK=3/2, 且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60, 则球O的表面积等于.19.设函数f(x) axsinxcosx若函数f
6、(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线yf(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为_20.甲罐中有5个红球, 2个白球和3个黑球, 乙罐中有4个红球, 3个白球和3个黑球. 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐, 分别以A1, A2和A3表示由甲罐取出的球是红球, 白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球, 以B表示由乙罐取出的球是红球的事件. 则下列结论中正确的是(写出所有正确结论的编号) .P(B) =;P(B|A1) =;事件B与事件A1相互独立;A1, A2, A3是两两互斥的事件;P(B) 的值不能确定, 因为它与A1, A2, A3中究竟哪一个发生有关.21.某三棱锥
7、P-ABC的正视图为如图所示边长为2的正三角形，俯视图为等腰直角三角形，则三棱锥的表面积是_.四、证明题（共1小题）22.已知是椭圆上两点，点M的坐标为（1,0）（）当A，B关于点M（1,0）对称时，求证：；（）当直线AB经过点（0,3）时，求证：不可能为等边三角形。答案部分1.考点:复数概念和向量表示试题解析:由题意得，所以，所以解得，所以.答案:C2.考点:排列组合综合应用试题解析:用间接法即可.种，故选C。答案:C3.考点:利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性试题解析:由三次函数的值域为R知, f(x) =0必有解, A项正确; 因为f(x) =x3+ax2+bx+c的图象可由y
8、=x3平移得到, 所以y=f(x) 的图象是中心对称图形, B项正确; 若y=f(x) 有极值点, 则其导数y=f (x) 必有2个零点, 设为x1, x2(x1 x2), 则有f (x) =3x2+2ax+b=3(x-x1) (x-x2), 所以f(x) 在(-, x1) 上递增, (x1, x2) 上递减, (x2, +) 上递增, 则x2为极小值点, 所以C项错误, D项正确. 选C.答案:C4.考点:概率综合试题解析:答案:C5.考点:合情推理与演绎推理试题解析:，即存在两点与原点连线互相垂直。A存在 B切线方程为互相垂直，存在；C切线方程为互相垂直，存在 ； D渐近线方程为，倾斜角小
9、于所以不存在故选D答案:D6.考点:立体几何综合柱，锥，台，球的结构特征空间几何体的三视图与直观图试题解析:作PM,垂足为M,作MNOC于N,连结PN,则PNOC,PNM为二面角的平面角.PNM=45.在RtPNO中,PON=30,PO=R,PN=,PM=R,连结OM,则sinPOM=,cosAOP=.所以A、P两点间的球面距离为Rarccos. 故选A.答案:A7.考点:椭圆试题解析:椭圆上一点关于原点的对称点为，, ，设，根据椭圆的对称性可知：四边形AF2BF1为矩形，,，,故答案为：B答案:B8.考点:利用导数求最值和极值试题解析:，则，且，解方程组得或当时，则函数在点两侧的附近的单调性
10、相反，所以符合题意，此时=18；当时，则函数不存在极值，所以不合题意.综上所得，.答案:C9.考点:正弦定理抛物线试题解析:则由正弦定理，得故当时，有最大值1答案:A10.考点:复数综合运算试题解析:答案:A11.考点:导数的综合运用试题解析:因为，再由可有，令，则，可得，且在上，在上，故的最小值为，于是即，故答案为：D答案:D12.考点:双曲线试题解析:，E为PF的中点，设为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO为三角形的中位线，则，可令P的坐标为，则有，由抛物线的定义可得，又，即有，化简可得，由于，则有，由于e1，解得，e=，故答案为：A答案:A13.考点:利用直线方向向量与平面法向量解
11、决计算问题空间的角立体几何综合垂直试题解析:解析 （）且，四边形为平行四边形，又且，四边形为正方形，. 平面平面，又，平面平面，平面，又，平面平面.（）以为坐标原点，、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，设，易知， 设为平面的一个法向量，即，令，直线与平面所成角的正弦值为. 答案:查看解析14.考点:排列组合综合应用概率综合古典概型答案:() 因为事件A: “学生甲收到李老师所发信息” 与事件B: “学生甲收到张老师所发信息” 是相互独立的事件, 所以与相互独立. 由于P(A) =P(B) =,故P() =P() =1-, 因此学生甲收到活动通知信息的概率P=1-=.() 当
12、k=n时, m只能取n, 有P(X=m) =P(X=n) =1.当k n时, 整数m满足kmt, 其中t是2k和n中的较小者.由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学” 所包含的基本事件总数为() 2.当X=m时, 同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k-m, 仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m-k. 由乘法计数原理知: 事件X=m所含基本事件数为=,此时P(X=m) =,当km t时, P(X=m) P(X=m+1) (m-k+1) 2(n-m) (2k-m) m2k-.假如k2k- t成立, 则当(k+1) 2能被n+2整除时,k2k- 2k+
13、1-t.故P(X=m) 在m=2k-和m=2k+1-处达到最大值; 当(k+1) 2不能被n+2整除时,P(X=m) 在m=2k-处达到最大值.(注: x表示不超过x的最大整数)下面证明k2k- t.因为1k n, 所以2k-k=0.而2k-n=- 0,故2k- n.显然2k- 2k.因此k2k- t.15.考点:合情推理与演绎推理试题解析:（1）依题意，又，综上可得；（2）由已知得，又，当时，即，成立当时，即，此不等式即，对于不等式，令，得，解得，又当时，成立，当时，即，即，时，不等式恒成立综上，的取值范围为（3）设公差为，显然，当时，是一组符合题意的解，则由已知得，当时，不等式即，时，解得，的最大值为，此时公差答案:（1）；（2）；（3）16.考点:椭圆圆锥曲线综合答案:（）由题意得，解得，所以椭圆的方程为，离心率.（2）由（1）知，则直线的方程为，设原点关于直线对称的点为，则有解得即点的坐标为，又，的最小值为.17.考点:利用导数研究函数的单调性利用导数求最值和极值导数的综合运用函数综合合情推理与演绎推理试题解析:解：（）0是的“
