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1、第11讲 三角函数概念一学习目标：1了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义二重点难点：1.重点：三角函数的定义及应用。2.难点：三角函数值符号的确定三角函数线的应用。三知识梳理：1 角的概念:(1)任意角：定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k360，kZ(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标
2、轴上，那么这个角不属于任何一个象限2 弧度制:(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad,1 rad.(3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：Slr|r2.3 任意角的三角函数:任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin y，cos x，tan .三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin Rcos Rtan |k，kZ4. 三角函数线:如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过
3、A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线()()()()有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线5，几点注意：1 对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90的角”等同于“锐角”，把“090的角”等同于“第一象限的角”其实锐角的集合是|090，第一象限角的集合为|k360k36090，kZ(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等2 对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有
4、意义的角的范围如tan 有意义的条件是角终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为.3 三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负(3)当角的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方四典例剖析：题型一 终边相同的角与象限角例1判断真假：(
5、1)将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角度是.()(2)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等()(3)已知A小于90的角，B第一象限角，则AB|090()(4)终边与坐标轴重合的角的集合为|k18090，kZ()例2在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)150； (2)650； (3)95015.课堂小结：解答本题可先利用终边相同的角的关系：k360，kZ，把所给的角化归到0360范围内，然后利用0360范围内的角分析该角是第几象限角例3已知是第二象限角，试确定2，的终边所在的位置课堂小结：若已知角是第几象限角，判断，等是第几象限角，主要方法是解不
6、等式并对k进行分类讨论考查角的终边的位置课堂练习1：（1）若是第四象限角，则180是 ( )A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角（2）已知是第一象限角，则角的终边不可能落在()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限题型二 角度制与弧度制例4把下列各角化成2k (02，kZ)的形式，并指出是第几象限角：(1)1 500；(2)；(3)4.课堂小结：在同一问题中，单位制度要统一角度制与弧度制不能混用例5已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？.课堂小结：1.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、 简捷
7、 2.记住下列公式：lR；SlR；SR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(02)为圆心角，S是扇形面积课堂练习2：(1)已知扇形的半径为10 cm，圆心角为120，则扇形的弧长为_，面积为_(2)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_题型三 任意角三角函数的定义例6（1）已知角的终边经过点P(m，3)，且cos，则m等于 AB. C4 D4（2）角的终边上有一点(a，a)，aR且a0， 则sin 的值是 .A. B C.或 D1（3）2011年高考江西卷 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin，则y_例7（1） - 4
8、- 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4
9、- 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 -已知角的终边在直线3x4y0上，求sin，cos，tan的值 (2)设90180，角的终边上一点为P(x，)，且cosx，求sin与tan的值；课堂小结：任意角的三角函数值与终边所在的位置有
10、关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P点所在的象限，确定r，最后根据定义求解课堂练习3：（1） 已知角的终边上有一点P(x，1)(x0)，且tanx，求sin，cos.（2） 已知角的顶点在原点，始边为x轴非负半轴，终边在直线ykx上，若sin ，且cos 0，求实数k.题型四 三角函数符号例8 （1） 已知cos tan 0，那么角是()A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D第一或第四象限角（2）若是第三象限角，则下列各式中不成立的是()Asin cos 0 Btan sin 0Ccos tan 0 Dtan sin 0（3）若是第二象限角，试判断的符号；课堂练习4
11、：给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4题型五 三角函数线及运用例9 （1）若0x和cos x同时成立的x的取值范围是 （ ）A .x B .x C .x D .x（2）已知且sin cos a，其中a(0,1)，则关于tan 的值，以下四个答案中，可能正确的是 （ ）A3 B3或 C D3或例10 (1)求函数ylg(34sin2x)的定义域；(2)设是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小课堂小结：第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式，可以用三角函数图象，也可以用三角函数线用三角函数线更方便.2.第(2)小题比较大小，由于没有给出具体的角度，所以用图形可以更直观的表示.3.本题易错点：不能确定所在的象限；想不到应用三角函数线原因在于概念理解不透，方法不够灵活五品味高考（家庭作业）：1.(2011年高考题山东文)若点(a，9)在函数y3x的图象上，则的值为 () A0 B C1 D 2.(2009年高考题全国文).已知A
