山东省淄博市高三数学一模考试试卷附解析

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1、 高三数学一模考试试卷 高三数学一模考试试卷 一、单项选择题一、单项选择题 1.集合 ，集合 ，那么 A. B. C. D. 2.复数 的虚部为 A. B. C. -2 D. 2 3.圆 截直线 所得的最短弦长为 A. B. C. D. 2 4. 在区间 上的最大值是 ，那么实数 的最小值是 A. B. C. D. 5.实轴长与焦距之比为黄金数 的双曲线叫黄金双曲线，假设双曲线 是黄 金双曲线，那么 等于 A. B. C. D. 6.假设等差数列 的前 项和为 ，那么“ ， 是“ 的 A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7.等边三角形 的

2、边长为 6，点 满足 ，那么 A. B. C. D. 8.有 7 名学生参加“学党史知识竞赛，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是 7 人中 成绩最好的，丙不是 7 人中成绩最差的，而且 7 人的成绩各不相同.那么他们 7 人不同的可能位次共有 A. 120 种 B. 216 种 C. 384 种 D. 504 种 9.四棱锥 中，侧面 为等边三角形，底面 为矩形， ， ，点 是棱 的中点，顶点 在底面 的射影为 ，那么以下结论正确的选项是 A. 棱 上存在点 使得 面 B. 当 落在 上时， 的取值范围是 C. 当 落在 上时，四棱锥 的体积最大值是 2 D. 存在 的值使得

3、点 到面 的距离为 二、多项选择题二、多项选择题 10.快递行业作为邮政业的重要组成局部，具有带动产业领域广吸纳就业人数多经济附加值髙技术特征 显著等特点.它将信息传递物品递送资金流通和文化传播等多种功能融合在一起，关联生产流通消费 投资和金融等多个领域，是现代社会不可替代的根底产业.以下列图是国家统计局公布的 2021 年下半年快 递运输量情况，请根据图中信息选出正确的选项 A. 2021 年下半年，每个月的异地快递量都是同城快递量的 6 倍以上 B. 2021 年 10 月份异地快递增长率小于 9 月份的异地快递增长率 C. 2021 年下半年，异地快递量与月份呈正相关关系 D. 2021

4、 年下半年，同城和异地快递量最高均出现在 11 月 11.函数 ，那么以下结论正确的选项是 A. 是偶函数 B. 是增函数 C. 最小值是 2 D. 最大值是 4 12. ， ，且 ，那么以下结论正确的选项是 A. B. C. D. 三、填空题三、填空题 13.某圆锥底面圆的半径 ，侧面展开图是一个半圆，那么此圆锥的体积为_. 14.假设抛物线 上的点 到其焦点的距离是点 到 轴距离的 3 倍，那么 等 于_. 15.等比数列 中，首项 ，公比是 ， ， 是函数 的两个极值 点，那么数列 的前 9 项和是_. 16.函数 在 上的最大值是 6，那么实数 的值是_. 四、解答题四、解答题 17.

5、在 ， ， 这三个条件中任选 一个，补充在下面问题中，假设问题中的 存在，求出其面积；假设不存在，说明理由. 问题：是否存在 ，它的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， ， ？ 18.将 个正数排成 行 列： 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且各列的公比都相等，假设 ， ， . 1求 ； 2设 ，求 . 19.在三棱柱 中， ， ，侧棱与底面垂直，点 ， 分别是棱 ， 的中点. 1求三棱柱 外接球的外表积； 2设平面 截三棱柱 的外接球面所得小圆的圆心为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 20.某市会展公司方案在未来一周组织 5 天广场会展.假设会展期间有风雨天气

6、，那么暂停该天会展.根据该 市气象台预报得知，未来一周从周一到周五的 5 天时间内出现风雨天气情况的概率是：前 3 天均为 ， 后 2 天均为 (假设每一天出现风雨天气与否是相互独立的). 1求未来一周从周一到周五 5 天中至少有一天暂停会展的概率； 2求这次会展活动展出的平均天数.(结果精确到 0.1) 21. ， 是椭圆 ： 长轴的两个端点，点 在椭圆 上，直线 ， 的斜率之积等于-4. 1求椭圆 的标准方程； 2设 ，直线 方程为 ，假设过点 的直线与椭圆 相交于 ， 两点，直线 ， 与 的交点分别为 ， ，线段 的中点为 .判断是否存在正数 使直线 的斜 率为定值，并说明理由. 22.

7、数列 . 1证明： ( ， 是自然对数的底数)； 2假设不等式 成立，求实数 的最大值. 答案解析局部答案解析局部 一、单项选择题 1.【解析】【解答】因为 ， ， 所以 ， 故答案为：B 【分析】 利用条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合 A，再利用交集的运算法那么，进而 求出集合 A 和集合 B 的交集。 2.【解析】【解答】因为 ， 所以虚部为 2。 故答案为：D 【分析】利用复数的乘法运算法那么，进而求出复数 z，再利用复数的虚部的定义，进而求出复数的虚 部。 3.【解析】【解答】直线 过定点 ， 圆 可化为 ， 故圆心为 ，半径为 . ，所以点 在圆 内， 和 的距离为

8、， 根据圆的几何性质可知，圆 截直线 所得的最短弦长为 。 故答案为：A 【分析】利用直线的斜截式方程求出直线过定点，再将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆 心坐标和半径长，再利用直线与圆相交的位置关系判断方法，结合两点距离公式和直线所过定点在圆 内，再利用圆的几何性质求出圆 截直线 所得的最短弦长。 4.【解析】【解答】 , 由于 ，即 的值域为 ， ， 即 在 处取得最小值， 而 的最小正周期为 ，其一半为 ，那么 ， 所以 在 上递增，且在 处取得最大值 ， 故 的最小值为 。 故答案为：D 【分析】利用二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法将

9、正 弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的最值，再结合函数 在区间 上的最大值是 ， 再利用正弦型函数的最小正周期公 式，进而结合正弦型函数图象的单调性，从而求出的最小值。 5.【解析】【解答】由题意 ， 所以 ， 解得 。 故答案为：A 【分析】利用实轴长与焦距之比为黄金数 的双曲线叫黄金双曲线，进而结合双曲线中实轴和焦距 的定义，进而求出 a,c 的关系式，再利用双曲线中 a,b,c 三者的关系式，进而求出 a,b 的关系式，从而求出 的值。 6.【解析】【解答】假设 ， ， ，即 ， ， ，可得 ，充分性成立； 反之，假设 ， ，满足 ，不能推出“ ， ，必要性 不

10、成立，故“ ， 是“ 的充分不必要条件， 故答案为：B 【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“ ， 是 “ 的充分不必要条件。 7.【解析】【解答】依题意 ， ， 设 是 中点，连接 ， 由于三角形 是等边三角形，所以 ， ， 由于 ，所以 ， 所以四边形 是矩形， 所以 ， 中， ， 即 。 故答案为：C 【分析】依题意知 ，再利用三角形法那么结合共线定理，得出 ，设 是 中点，连接 ，由于三角形 是等 边三角形，再利用三线合一，所以 ， ，由于 ，所以 ，再利用直角三角形中正弦函数的定义，进而求出。 所以四边形 是矩形， 8.【解析】【解答】因为甲的成绩是中间一名，

11、所以只需安排其余 6 人位次， 因为乙不排第一名，丙不排最后一名， 所以由间接法可得 , 故答案为：D 【分析】利用条件结合排列数公式和间接法，进而求出他们 7 人不同的可能位次共有的种数。 9.【解析】【解答】对于 A：取 BC 的中点 E，连结 DE，取 SC 中点 P，连结 PE、PD， PE 为BCS 的中位线， PEBS， 又 面 BFS， 面 BFS，PE面 BFS； 在矩形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、AD 的中点，DEBF, 又 面 BFS， 面 BFS，DE 面 BFS； 又 ,面 PDE面 BFS， 面 ， A 符合题意； 对于 B： 为等边三角形， ， ， 当 时

12、，S 与 H 重合，图形不能构成四棱锥，与条件相悖，B 不符合题意； 对于 C：在 RtSHE 中， ， ， 当且仅当 时， 的最大值为 1.C 不符合题意； 对于 D:由 C 的推导可知：当 的最大时，点 B 到面 的距离 d 最大， ， 此时 ， ， ，D 不符合题意。 故答案为：A 【分析】在四棱锥 中，侧面 为等边三角形，底面 为矩形， ， ，点 是棱 的中点，顶点 在底面 的射影为 ， 再利用等边三角形的性质结合矩 形的结构特征，再结合中点的性质和射影定理，再结合线面平行的判定定理、四棱锥的体积公式、点到 平面的距离公式，进而找出结论正确的选项。 二、多项选择题 10.【解析】【解答

13、】A 选项：7 月份同城快递量为 异地快递量为 ， 因为 所以 A 不符合题意； B 选项：10 月份异地快递增长率为 ，9 月份的异地快递增长率 ， ，B 符合题意； C 选项：由图知 2021 年下半年，异地快递量与月份总体呈正相关关系，C 符合题意； D 选项：由图知 2021 年下半年，同城和异地快递量最高均出现在 11 月，D 符合题意。 故答案为：BCD 【分析】利用国家统计局公布的 2021 年下半年快递运输量情况图，再结合统计的知识，进而结合增长率 和最值得求解方法，再结合正相关关系判断方法，从而找出信息正确的选项。 11.【解析】【解答】 的定义域为 ,关于原点对称， 又 ，

14、 所以函数为偶函数，所以函数在 R 上不是增函数，A 符合题意 B 不符合题意； 又 ，当且仅当 ，即 时等号成立，C 符合题意； 当 时， ，D 不符合题意. 故答案为：AC 【分析】利用条件结合偶函数的定义，从而判断函数为偶函数，再利用增函数的定义判断函数不是增函 数，再利用均值不等式求最值的方法，进而求出函数的最小值，进而找出结论正确的选项。 12.【解析】【解答】取 ，那么 ， ，所以 B 选项错误. 取 ，那么 ，所以 D 选项错误. 由于 在 上递减，且 ，所以 ，所以 A 选项正确. 由于 ，所以 ；由于 ，所以 ， 由于 在 上递增，所以 ，C 选项正确. 故答案为：AC 【分

15、析】利用条件结合不等式的根本性质和反比例函数图象得单调性、对数函数的单调性，进而找出结 论正确的选项。 三、填空题 13.【解析】【解答】圆锥底面圆的半径 ， 那么圆锥的底面圆周长为 ， 由圆锥的展开图中,底面圆的周长为展开扇形的弧长,由展开图为半圆可得， 设展开后半圆的半径为 ,那么 ,解得 ， 又由圆锥的结构可知,圆锥的母线为 ， 所以圆锥的高为 ， 那么圆锥的体积为 ， 故答案为: 。 【分析】 利用某圆锥底面圆的半径 ，侧面展开图是一个半圆，再结合扇形的弧长公式，进而求出 底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，再结合圆锥的体积公式，进而求出圆锥的体积。 14.【解析】【解答】抛物线

16、 开口向右，准线为 ， 将 的坐标代入抛物线方程得 ， 由于抛物线 上的点 到其焦点的距离是点 到 轴距离的 3 倍， 根据抛物线的定义有 ， 所以 。 故答案为： 。 【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而求出准线的方程，再利用点 在抛物线 上，进而结合代入法求出 p 与的关系式，再利用条件抛物线 上的点 到其焦 点的距离是点 到 轴距离的 3 倍，结合抛物线的定义，进而求出 p 的值。 15.【解析】【解答】由 ，得 ， 又因为 ， 是函数 的两个极值点， 所以 ， 是函数 的两个零点， 故 ，因为 ，所以 ， 故 ，那么前 9 项和 。 故答案为：1022。 【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，再利用， 是函数 的两个极值点，所以 ， 是函数 的两个零点，再利用 韦达定理结合条件，进而解方程组求出， 再利用等比数列的性质，进而求出等比数列的公 比，再利用等比数列前 n 项和公式，进而求出等比数列 的前 9 项和 。 16.【解析】【解答】不妨设 的定义域为 ， 当 时， ， ，不符合题意， 当 时，设 ， 在区间 上递增，值域为 ，即 ， 即