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1、.知识网络知识要点梳理知识点一：空间向量1. 空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注： 空间的一个平移就是一个向量。 向量一般用有向线段表示， 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 共线向量（ 1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于记作当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（），/的充要条件是存在实数，使。3. 向量的数量积（1
2、） 定义：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。（2） 空间向量数量积的性质：；（3） 空间向量数量积运算律：；（交换律）；.第 5 页，共 10 页（分配律）。4. 空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。5. 空间直角坐标系：（ 1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（ 2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴 :轴、轴、轴, 它们都叫坐标轴. 我们称建立了一
3、个空间直角坐标系,点叫原点，向量都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；6. 空间直角坐标系中的坐标在空 间直 角坐 标系中 ， 对 空间 任一 点， 存 在唯一 的 有 序 实数组， 使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标7. 空间向量的直角坐标运算律：（1）若，则一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（2）若，则，.；，夹角公式：（3）两点间的距离公式：若，则或。知识点三：空间向量在立体几何中的应用1. 立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直问题
4、，一般是利用进行证明； 对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明2. 利用向量求夹角 ( 线线夹角、线面夹角、面面夹角) 有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。3. 用向量法求距离的公式设 n 是平面的法向量， AB是平面的一条斜线， 则点 B 到平面的距离为（如图）。规律方法指导向量法在求空间角上的应用平面的法向量的求法：设 n=(x,y,z)，利用 n 与平面内的两个不共线的向a，b 垂直，其数量积为零， 列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图） 。线线角的求法：.设直线 A
5、B、CD 对应的方向向量分别为a、b，则直线 AB 与 CD所成的角为。（注意：线线角的范围 00,900 ）线面角的求法：设 n 是 平 面的 法 向 量 ，是 直 线的 方 向 向 量 ， 则 直 线与 平 面所 成 的 角 为（如图）。二面角的求法：设 n1， n2 分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法向量求空间距离 点 A 到平面的距离：，其中，是平面的法向量。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。空间向量是高中数学中的重要内容之一，是处理空间线线、线面、面面位置关系和夹角.的重要工具
6、，是高考考查的重要内容之一. 运用向量方法研究立体几何问题思路简单，模式固定，避免了几何法中作辅助线的问题，从而降低了立体几何问题的难度. 本文将空间向量在立体几何中的应用的重要考点和解题方法作以解析.【考点及要求 】1. 理解直线的方向向量与平面法向量.2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3. 能用向量方法证明证明直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、 平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究集合问题中的应用.【考点归纳分析】考点 1. 利用空间向量证明空间垂直问题利用空间向量证明空间线线、线面
7、、面面垂直问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，题目容易，是高考中的重要得分点 .1例 1(2010辽宁理 19）已知三棱锥 PABC中， PA面 ABC， AB AC， PA=AC=2AB， N 为AB上一点， AB=4AN,M,S分别为 PB,BC的中点 . 证明： CMSN；审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.证明： 设 PA=1，以 A 为原点， 射线 AB，AC，AP分别为 x， y， z 轴正向建立空间直角坐标系如图，则P（ 0,0,1 ）， C（0,1,0 ），
8、B（ 2,0,0 ），M（ 1,0,1），N（21,0,0 ），S（ 1,21,0 ）2uuuur1uuur11CM(1, 1,), SN(,0) ,222uuuuruuur11因为 CM? SN00 ， 所以 CM SN .22【点评】 对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0 证明两直线垂直 .例 2(2010 天津理 19)在长方体ABCDA1B1C1D1 中， E 、F 分别是棱 BC ,CC1 上的点， CF = AB = 2CE ,AB : AD: AA1 =1: 2: 4 . 证明 AF平面 A1ED审题要津：本题空间坐标
9、系易建立，可用坐标法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，.设 AB1, 依题意得D (0,2,0), F (1,2,1) ,3uuuruuurA1(0,0, 4)E3uuur11,02uuuruuuruuuruuur已知 AF(1,2,1) ,EA11, 42, ED1,02于是 AFEA1 =0， AF ED=0. 因此，AFEA1 , AFED , 又 EA1EDE所以 AF平面A1ED【点评】 对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法， 先求出平面的法向量和直线的方向向量， 证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用
10、线面垂直判定定理即可.例 3 （ 2010 年山东文）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA平面 ABCD ， PD / MA ， E 、G 、F 分别为 MB 、PB 、PC 的中点，且求证：平面 EFG平面 PDC .ADPD2MA .审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.uuuvuuuvuuuuv解析：以 A为原点，向量 DA , AB , AM 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 如图建立坐标系， 设 AM=1，则 AD=AB=PD=2,则 B(0,2,0),C( 2,2,0),D( 2,0,0),P( 2,0,2),M(0,0,1),则 E(0,1,1 )
11、,G( 1,1,1),F( 2,1,1)，2uuuv EG =(-1,0,1 uuuv), GF2=( 1,0,0),设平面 EFG的法向量m =（x ， y ， z ），则uuuv1uuuvEG ?m =xz=0 且 GF ?m =x =0，取 y =1，则 x = z =0， m =（ 0，1,0 ） ,2uuuvuuuv易证面 PDC的法向量为 DA =(2,0,0), m ? DA = 200100 =0,uuuv m DA,平面 EFG平面 PDC【点评】 对于易建立空间坐标系的面面垂直问题， 常向量法，即先建立坐标系， 求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面
12、垂直 .考点 2. 利用空间向量处理空间平行关系空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不.第 6 页，共 10 页.第 10 页，共 10 页大，是高考中的得分点之一.例 4（ 2010 湖南理 18）在正方体ABCDA1B1C1D1 ， E 是棱DD1 的中点。在棱C1D1上是否存在一点 F，使B1F 平面A1BE ?证明你的结论。审题要津：本题坐标系易建立，可用向量法求解.解析： 以 A 为坐标原点， 如图建立坐标系， 设正方形的棱长为2，则 B(2,0,0),E(0,2,1),A1(0,0,2),uuuvB1(2,0,2)，uuuv BE =( 2,2,1),BA1 =（ 2， 0，2），设面
