第二章第二章一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（共二次函数与一元二次方程、不等式（共 2 课时）课时） （第（第 1 课时）课时） 1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法； 2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相 应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 重点：1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型. 2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想. 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. 1. 含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是 2.二次函数、二次方程、二次不等式的联系： =b2-4ac 0 =0 0 二次函数二次函数 y=y=a ax x2 2+ +b bx+x+c c ( (a a0)0)的图象的图象 a ax x2 2+ +b bx+x+c c=0=0 的根的根 来源:学科网 Z XXK a ax x2 2+ +b bx+x+c c0 0 的解集的解集 a ax x2 2+ +b bx+x+c c0 0 的解集的解集 （一一） 、情境导学 问问题题 1 1园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉若栅栏的长度是 m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？ 问题问题 2 2：二次函数 y=x2-5x 的函数图像如下， 思考：当 x 为何值时，y=0，函数图像与 x 轴有什么关系？ 当 x 为何值时，y0，函数图像与 x 轴有和关系？ 当 x 为何值时，y0，函数图像与 x 轴有什么关系？ 思考：对于一般一元二次不等式的解集怎么求呢？ 我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，设其判别式为 =b2-4ac，它的解按照 0,=0，0 分为三种情况，相应地，抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴的相关位置也分为三 种情况（如下图） ，因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c0 或ax2+bx+c0（a0）的解集我 们也分这三种情况进行讨论.根据二次函数及其对应的不等式与方程之间的联系，填写下列表格。
=b2-4ac 0=0来源0 二次函 y=ax2+bx+c(a0)的图 象 来 ax2+bx+c=0 的根 ax2+bx+c0 的解集 ax2+bx+c0 的解集 （三）典例解析（三）典例解析 例 1：解不等式: x22x150 例 2：解不等式- x2 + 2x 3 0 0443 2 xx、 、 、 、 、 、 、 结合以上例题总结：结合以上例题总结： 1、求解一元二次不等式的步骤是什么？ 2、解一元二次不等式中常见的错误是什么？应如何避免？ 解一元二次不等式ax2+bx+c0、ax2+bx+c0)的步骤： (1)二次项的系数变为正 (a0) (2) 看能否因式分解，不能分解的计算， (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像） (4)（结合函数图象）写出不等式的解集. 1.不等式 2x2x10 的解集是 A. x 1 2x1 B.x|x1 C.x|x1 或 x2 D. x x1 2或x1 2.不等式6x2x20 的解集是 A. x 2 3x 1 2 B. x x2 3或x 1 2 C. x x1 2 D. x x3 2 3.解下列一元二次不等式： （1）x 2-2x-30. （2）4x 2+4x+10. （3）-x 2+2x-60. 4.若不等式ax28ax210 的解集是x|7x1，求a的值。
5.若不等式(a2)x22(a2)x40 的解集为 R，求实数a的取值范围. 一、知识上我收获了什么？ 二、方法上我收获了什么？ 1.“三个二次”的关系 2.一元二次不等式解法的步骤： 3.数学思想方法： 参考答案：参考答案： 学习 过程 问题 1.设这个矩形的一条边长为x，则另一条边长为（x） 由题意，得 :（ x）x， 其中 xx x 整理得 x x， xx x 求得不等式 的解集，就得到了问题的答案 =b2-4ac 0=0来源0 二次函 y=ax2+bx+c(a 0)的图象 来 ax2+bx+ c=0 的根 a b x 2 2 . 1 x1=x2 = a b 2 ax2+bx+c0 的解集 x|xx1或 xx2 x|x a b 2 R ax2+bx+c0 的解集 x|x1xx2 三、典例解析三、典例解析 例 1 解：原不等式变形为（x+3）(x-5) 0 方程(x+3)(x-5)0 的两根为: x3，或 x5 不等式的解集为:x x 3 或 x 5 例 2.解：整理，得 x2 - 2x + 3 0 因为= 4 - 12 = - 8 1 或 x ，不等式的解集为.选 D 1 2 x|x 1 2或x1 2.解析：6x2x20，6x2x20，(2x1)(3x2)0， Error!.选 B 3. （1）解：因为 0，x2-2x-3=0 的解是 x1=-1,x 2=3. 所以不等式的解集是x|x-1 或 x3. （2）解：因为 =0，方程 4x 2+4x+1=0 的解是 x1=x 2= 2 1 .所以不等式的解集是x|x 2 1 . （3）解：整理化简，得 x2-2x+60.因为 0，方程 x 2-2x+6=0 无实数解，所以不等式的解集是 . 4.解析：由题意可知7 和1 为方程ax28ax210 的两个根. 7(1) ，故a3. 21 5.当a20，即a2 时，原不等式为40，所以a2 时解集为 R. 当a20 时，由题意得Error!Error!综上所述，a的取值范围为(2,2. 2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第二次函数与一元二次方程、不等式（第 2 课时）课时） 1. 巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二 次函数的关系两者之间的区别与联系； 2.能根据现实情境，建立一元二次不等式并正确求解； 重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型. 难点：深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. 1.二次函数、二次方程、二次不等式的联系： =b2-4ac0=00 二次函数二次函数 y=ax2+bx+c (a0)的图象的图象 ax2+bx+c=0 的根的根 来源:学科网 ZXX K ax2+bx+c0 的解集的解集 ax2+bx+c0 的解集的解集 （一一） 小小试试牛牛刀刀 1.解下列不等式： (1)2x27x30；(2)x24x50； (3)4x218x0；(4) x23x50； 81 4 1 2 (5)2x23x20. （二）典例解析（二）典例解析 例 1一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 x（单位： 辆）与创造的价值 y（单位：元）之间有如下的关系：yxx 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收元以上，则在一个星期内大约应该生产 多少辆摩托车？ 跟踪训练 1某校园内有一块长为 800 m，宽为 600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规 划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉 带宽度的范围 例 2某种汽车在水泥路面上的刹车距离 （单位：）和汽车刹车前的车速 （单位： ）之间有如下关系：+，刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距 = 1 20 1 180 2 离 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多 少（精确到）？ 跟踪训练 2. 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称 这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速 40 km/h 的弯道上，甲、 乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了，事发后现场测得甲车的刹车距离 略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速 x(km/h)之 间有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？ 1已知集合 Mx|x23x280，Nx|x2x60，则 MN 为() Ax|4x2 或 3x7 Bx|4x2 或 3x7 Cx|x2 或 x3 Dx|x2 或 x3 2二次函数 yx24x3 在 y0 时 x 的取值范围是_ 3若关于 x 的不等式 ax22x20 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围 4你能用一根长为 100 m 的绳子围成一个面积大于 600 m2的矩形 吗？ 1解一元二次不等式的一般步骤是： (1)化为标准形式； (2)确定判别式 b24ac 的符号； (3)若 0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若 39.5 1 20 1 180 2 移项整理，得，对于方程 2+ 97110 02+ 97110 = 0 ，方程有两个实数=, = 1 9 28521 2 2 9 + 28521 2 根画出二次函数的图象, = 2+ 97110 结合图象得不等式的解集为vvv，或 vv ， 从而原不等式的解集为vvv，或 vv ，因为车速 v，所以 v v 而v，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 跟踪训练 2 解由题意知，对于甲车，有 0.1x0.01x212， 即 x210 x12000，解得 x30 或 x10，即 x210 x20000， 解得 x40 或 x50(不符合实际意义，舍去)， 这表明乙车的车速超过 40 km/h，即超过规定限速，所以乙应负主要责任 达标检测达标检测 1.解析：Mx|x23x280 x|4x7，Nx|x2x60 x|x2 或 x3 MNx|4x2 或 3x7 答案：A 2 解析：由 y0 得 x24x30，1x3 答案：(1,3) 3.解：当 a0 时，原不等式可化为 2x20，其解集不为 R，故 a0 不满足题意，舍去； 当 a0 时，要使原不等式的解集为 R，只需Error!解得 a .综上， 1 2 所求实数 a 的取值范围为. ( 1 2，) 4.解：设围成的矩形一边的长为 x m，则另一边的长为(50 x) m， 且 0 x50，由题意，得围成矩形的面积 Sx(50 x)600，即 x250 x6000，解得 20 x30，所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于 600 m2 的矩 形 。
