高数考试 一.填空(共15分) 1 1 . y JX3 -的7E义域是_； lg(1 x) X e x 0 2.已知f(x)在x 0连续，则a a x, x 0; xln 1 x 3 .lim - x 0 1 cosx 4.设f(x) x(x 1)(x 2) HI (x n),则f(0)= 5.曲线y (x 1)ex的拐点坐标为 答案：一.1. -3,0) U (0,1); 2.a 1； 3.2; 4. ( 1)nn!； 5. 二.选择(共15分) 1,X 1 (1)设f(x) ,则 lim f (x) (D) 0,x 1 x 0 A.不存在B.C.0D.1 (2)设函数y f (x)在a,b上连续，其导函数的图形如下图所示，则曲线y f (x)(a x 点为(A ). 选择题(2)图 A.(x1, f(x1),( x2, f(x2),( x3, f(x3) B.(X I, f(x1),(x2, f (x2),( x4, f (x4) 2 1, e b)的所有拐 C.(x1，f (x1),(x2, f d) D.(X3, f (X3),(X4, f(X4) (3) f(X00)与f（X00）都存在是函数f （X）在点X X0处有极限的一个（A A.必要条件B.充分条件C充要条件D.无关条件 时, .1 曰 nsin 一 个（D） 是 n B.无穷大 量 A.无穷小量C.无界变量D.有界变量 ln sin 5x lim - X 0 ln sin (C). 5 A.一 2 C.12 B. 5 70分）计算和解答（共 2X D. 1.求下列极限：（10分） ,2 2 cot x a.lim 1 3tan x ; ,2 2 cot x b.lx 0 m X(e 1) 1 3 X 解:a.lim 1 3tan X lim 3tan x 2 3tan x 2 原式=lim X 0 XX e 1 xe e lim - 0 X X x 2e X xe lim x 02 x 2 x 3 arccos 2.y x 3 .(分) 5 解: 1 (X3)3 2 3.求由下列参数方程所确定函数的二阶导数 d y： (10分) 2dx 2 x a(t sint), (a为常数); y a(1 cost), 解: dy dy dt asint sint dxdx a(1 cost) 1 cost dt d yd sin t d sin t 1 2 -( - ) -()- dx dxdx 1 cost dt 1 cost dt _ cost(1-cos t)-sin t sin t 1 =72-777 (1-cost)a(1 cost) 1 = 72 . a(1 cost) 2 4.求由方程y 1 xe确定的二阶导。
10分) 解.两边对x求导，得 y y e xeyy _e 2 y e y(2 y) e ( y) e (3 y) 23 yy2y y yy (2 y)2(2 y)3 5.证明：不等式ln 1 x x x 0；(10分)1 x 证明：设 f x In 1 x ,显然，f x在 0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格 I II III IV V VI a 令 V 0 得驻点 x (不合题意，舍去),x -. a 62 即小正方形边长为 a 时方盒容积最大. 朗日中值定理得知， 故上式即为 ln 1 x ，由 0 0, x ,有f x f 0 =f x 0因为 f 0 II x 得 1 11 x, 0, f x 1 1 x 所以 x x, 1 x 1 即一 x ln 1 x x, x 0.(也可以用单调性)1 x 6.在边长为a的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的 小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？ (10分) 解：设小正方形边长为x时方盒的容积最大. V (a 2x)2x 4x34ax2a2x VI 12x28ax a2 6 7 .求 f(x)j 的单调区间，凹凸区间，极值，拐点，渐近线(15分)1 x 解：函数的定义域为(8, +8)，且为奇函数, /22/2 、，1 x 2x 1 x y 2-2-22 (1 x ) 2x(x23) y 2 A 2 3 (1 x ) 令y 0 ,可得 x 1, 令y 0 ,得x=0, 列表讨论如下： (1 x ) J3, x0 V, , _ (0, 1) + 一 1 0 一 (1, 一 一 正 一 (J3, +8) 一 y y0 当x-8日y- 0,故y=0是一条水平渐近线 00+ r 极大 11 函数有极大值 f (1)极小值f( 1) 彳，有3个拐点，分别为 后 ,(0, 0), 22 、拐点 _ a 4 。