2020高一数学必修4教师版2平面向量的基本定理及坐标运算-中档难度-习题

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1、平面向量的基本定理及坐标运算 一、选择题(共12小题;共60分)1. 一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:N)的作用而处于平衡状态已知 F1,F2 成 60 角,且 F1,F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为 A. 6B. 2C. 25D. 27 2. 已知向量 a=1,2,b=2,3,c=3,4,且 c=1a+2b,则 1,2 的值分别为 A. 2,1B. 1,2C. 2,1D. 1,2 3. 已知 a=1,2,b=0,1,c=k,2,若 a+2bc,则 k= A. 2B. 2C. 8D. 8 4. ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分 ACB,若 CB

2、=a,CA=b,a=1,b=2,则 CD=A. 13a+23bB. 23a+13bC. 35a+45bD. 45a+35b 5. 设 D 为 ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则 A. AD=13AB+43ACB. AD=13AB43ACC. AD=43AB+13ACD. AD=43AB13AC 6. 已知点 E,F 是平行四边形 ABCD 的边 BC 和 CD 的中点,那么下列等式中正确的是 A. ABAE=BEB. AB+AC=AEC. AE+AF=ACD. AF+BF=2AD 7. 在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=3,P 为矩形内一点,且 AP=32,若 AP=AB+AD,R,

3、则 +3 的最大值为 A. 62B. 3+34C. 6+324D. 32 8. 在 ABC 中,AP=13AB,BQ=13BC,记 AB=a,AC=b,则 PQ= A. 13a+13bB. 23a+13bC. 23a+23bD. 13a23b 9. 已知 ABC 和点 M 满足 MA+MB+MC=0若存在实数 m 使得 AB+AC=mAM 成立,则 m= A. 2B. 3C. 4D. 5 10. 已知 A3,0,B0,3,O 为坐标原点,点 C 在 AOB 内,且 AOC=60,设 OC=OA+OBR,则 等于 A. 33B. 3C. 13D. 3 11. 在 RtABC 中,点 D 是斜边

4、AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 PA2+PB2PC2= A. 2B. 4C. 5D. 10 12. 设 O 为 ABC 的外心,且 OA+OB+2OC=0,则 ABC 的内角 C= A. 6B. 4C. 3D. 2 二、填空题(共5小题;共25分)13. 如图,在四边形 ABCD 中,DC=13AB,E 为 BC 的中点,且 AE=xAB+yAD,则 3x2y= 14. 已知下列四个命题:对任意两向量 a,b,均有 ab0 OD=OBtanCOB=1,所以 =1311. D【解析】因为 PA=CACP,所以 PA2=CA22CPCA+CP2 因为 PB=CBCP,所以 PB2=

5、CB22CPCB+CP2 所以 PA2+PB2=CA2+CB22CPCA+CB+2CP2 =AB22CP2CD+2CP2 又 AB2=16CP2,CD=2CP,所以 PA2+PB2=10CP2,所以 PA2+PB2PC2=10 12. B【解析】由 O 为 ABC 的外心,设 OD 垂直平分 AB又 OA+OB+2OC=0,且 OA=OB=OC ,而 OB+OA=2OD ,所以 OD=22OA=22OB ,所以 BOD=45,BOA=90 ,得 C=45 .第二部分13. 114. 【解析】若两向量 a,b 方向相反,则不对;由向量平行四边形法则可知对;中向量等式化简后为 CB=DA,说明 C

6、BAD,CB=AD,所以对;由向量平行四边形法则可知不对15. 12【解析】如图, DE=BEBD=23BC12BA=23ACAB+12AB=1223AB+23AC,又 DE=1AB+2AC,且 AB 与 AC 不共线,所以 1=1223,2=23,即 1+2=1216. 513【解析】由 CN=3NA,得 AP=mAB+213AC=mAB+813AN由 B 、 P 、 N 三点共线,所以 m+813=1,m=51317. 3【解析】由 a=2,1,b=1,2,可得 ma+nb=2m,m+n,2n=2m+n,m2n,由已知可得 2m+n=9,m2n=8. 解得 m=2,n=5. 从而 mn=3

7、第三部分18. 必要性:因为点 P 在直线 AB 上,所以存在实数 t 使得 AP=tAB,所以 OP=OA+AP=OA+tAB=1tOA+tOB,所以存在 =1t,=t 满足条件充分性:由 OP=OA+OB 且 +=1 可得 AP=OPOA=1OA+OB=OBOA=AB,所以 A,B,P 三点共线19. (1) AB=2PB, AP=23AB, AP=23OBOA=23OB23OA, AP=rOB+sOA, r=23,s=23, r+s=0(2) 四边形 OABP 为平行四边形, OB=OP+OA, OP=mOA+OB, OB=OB+m+1OA,依题意 OA,OB 是非零向量且不共线, m+

8、1=0,解得 m=120. (1) 因为 AB=3,BC=2,e1=ABAB,e2=ADAD,所以 AC=AB+BC=AB+AD=3e1+2e2,依据平面向量基本定理可知 x=3,y=2(2) 因为 BD=ADAB=2e23e1,所以 ACBD=2e2+3e12e23e1=4e229e12=521. 设 AB=b,AC=c,则 AM=12b+12c,AN=23AC=23c,所以 BN=BA+AN=23cb 因为 APAM,BPBN,所以存在 ,R,使得 AP=AM,BP=BN,所以 AMBN=AB,所以 12b+12c23cb=b,所以 12+b+1223c=b 又因为 b 与 c 不共线,所以 12+=1,1223=0, 解得 =45,=35. 所以 AP=45AM,所以 AP:PM=4:1 22. (1) 设 CM=mCD,CN=nCA,由题意知:BN=23BM=23BC+CM=23BC+mCD=23BC+23mCD. 又 BN=BC+CN=BC+nCA=BC+nCB+CD=1nBC+nCD, 23=1n,23m=n, 解得 m=12,n=13, CM=mCD=12CD,即 M 是 CD 的中点(2) 方法一: AB=2,BC=1,M 是 CD 的中点, MB=2,ABM=45, AHHB=AB+BHBH=

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