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1、对坐标的曲面积分(26),概念与性质,对坐标的曲面积分,对坐标的曲面积分(26),曲面的侧,双侧曲面,单侧曲面,曲面在坐标面上的投影,S在xOy面上的投影(S)xy为,对坐标的曲面积分(26),对坐标的曲面积分的定义,设为光滑的有向曲面 函数R(x y z)在上有界 把任意分成n块小曲面 S1 S2 Sn(Si也代表曲面面积) Si在xOy面上的投影为(Si)xy (i, i, i )是Si上任意取定的一点 若极限,总存在 则称此极限为函数R(x y z)在有向曲面上对坐标x、,对坐标的曲面积分(26),对坐标的曲面积分的定义,函数R(x y z)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分,函数P(x
2、 y z)在有向曲面上对坐标y、z的曲面积分,函数Q(x y z)在有向曲面上对坐标z、x的曲面积分,上述曲面积分也称为第二类曲面积分 其中 P、Q、R叫做被积函数 叫做积分曲面,对坐标的曲面积分(26),对坐标的曲面积分的简写形式,在应用上出现较多的是,为简便起见 这种合起来的形式简记为,对坐标的曲面积分(26),对坐标的曲面积分的性质,对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质,(1)如果把S分成S1和S2 则,(2)设S是有向曲面 S表示与S取相反侧的有向曲面 则,对坐标的曲面积分(26),对坐标的曲面积分(26),讨论 如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？,设积分曲面
3、由方程zz(x y)给出的 在xOy面上的投影区域为Dxy 函数zz(x y)在Dxy上具有一阶连续偏导数 被积函数R(x y z)在上连续 则有,其中当取上侧时 积分前取“” 当取下侧时 积分前取“”,应注意的问题:,(3)曲面S取哪一侧.,(2)向哪个坐标面投影;,(1)曲面S用什么方程表示;,(4)积分前取什么符号.,二、计算,对坐标的曲面积分(26),对坐标的曲面积分(26),注意:对坐标的曲面积分与所取的侧有关。,对坐标的曲面积分(26),方体的整个表面的外侧 (x y z)|0 xa 0yb 0zc,把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和4 左右面分别记为5和6,解,除3、4
4、外 其余四片曲面 在yOz 面上的投影为零 因此,对坐标的曲面积分(26),方体的整个表面的外侧 (x y z)|0 xa 0yb 0zc,把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和4 左右面分别记为5和6,解,除3、4外 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零 因此,a2bc,类似地可得,于是所求曲面积分为(abc)abc,对坐标的曲面积分(26),外侧在x0 y0的部分,把有向曲面分成上下两部分,解,1和2在xOy面上的投影区域都是 Dxy x2y21(x0 y0),对坐标的曲面积分(26),例,对坐标的曲面积分(26),练习,解,对坐标的曲面积分(26),对坐标的曲面积分(26),对坐标的曲面积分(26),两类曲面积分的联系,对坐标的曲面积分(26),对坐标的曲面积分(26),例,解,对坐标的曲面积分(26),
