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1、吉林省吉林市普通中学2021届高三数学下学期第四次调研测试试题 理本试卷共23小题,共150分,共6页,考试时间120分钟,考试结束后,将答题卡和试题卷一并交回. 注意事项:1答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码、姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案 无效. 4作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5保持卡面
2、清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀.第I卷(共60分)一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求.1. 已知全集,则集合=A. B. C. D. 2. 已知是第二象限角,则A. B. C. D. 3. 已知为虚数单位,若复数为纯虚数,则A. B. C. 或 D. 4. 甲,乙,丙三名运动员在某次测试中各射击20次,三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1,图2和图3,若,分别表示他们测试成绩的标准差,则A B C D5. 已知随机变量,且,则为A B C D6. 若点为圆的弦的中点,则弦所在直线方程为A B
3、C D7. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是ABCD8. 已知分别为三个内角的对边,且,则为A. B. C. D. 9. 已知,则的大小关系是A. B. C. D. 10. 一副三角板有两种规格,一种是等腰直角三角形,另一种是有一个锐角是的直角三角形,如图两个三角板斜边之比为. 四边形就是由三角板拼成的,则的值为A. B. C. D. 11. 已知函数在区间上单调递增,且在区间上有且仅有一个解,则的取值范围是A. B. C. D. 12已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于两点,以线段为直径的圆与轴交于两点,设线段的中点为,若抛物线上存在一点到焦点的距离等于.下面四个命
4、题: 抛物线的方程是 抛物线的准线方程是 的最小值是 线段长的最小值是其中正确的命题的个数是ABCD第II卷(共90分)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.13. 已知变量和需满足约束条件,则的最小值为_.14. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期,涌现了一大批卓有成就的数学家,其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出,被誉为“宋元数学四大家”.数学周老师将秦九韶的数书九章、李冶的测圆海镜益古演段、杨辉的详解九章算法、朱世杰的算学启蒙四元玉鉴这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组,则有_种不同的分配方式.15已知函数
5、,设,其中且,则 . 16如图所示,在长方体中,点是棱上的一个动点,若平面交棱于点,则四棱锥的体积为 ,截面四边形的周长的最小值为 .三、解答题:共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)已知等比数列的前项和.()求的值,并求出数列的通项公式;()令,设为数列的前项和,求.18.(本小题满分12分)已知斜三棱柱,侧面与底面垂直,且. ()试判断与平面是否垂直,并说明理由; ()求二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)江苏卫视推出的大型科学竞
6、技真人秀最强大脑(8)现已进入联盟抢分赛环节,由12强选手组建的凌霄、逐日、登峰联盟三支队伍(每队四人)将进行“12进6”的登顶预备战,每局有两队参加,没有平局. 按12强历次成绩统计得出,在一局比赛中,逐日联盟胜凌霄联盟的概率为,逐日联盟胜登峰联盟的概率为,凌霄联盟胜登峰联盟的概率为. 联盟抢分赛规则如下:按抽签决定由逐日联盟和凌霄联盟先进行第一局的比赛,然后每局的获胜队与未参加此局比赛的队伍进行下一局的比赛. 在比赛中,有队伍先获胜两局,就算取得比赛的胜利,直接晋级6强的全国脑王争霸赛.()求只进行两局比赛,逐日联盟晋级6强的概率;()求只进行两局比赛,就能确定晋级6强联盟队的概率;()求
7、逐日联盟晋级6强的概率.20.(本小题满分12分)已知点为椭圆的右焦点,椭圆上任意一点到点距离的最大值为,最小值为.()求椭圆的标准方程;()若为椭圆上的点,以为圆心,长为半径作圆,若过点可作圆的两条切线(为切点),求四边形面积的最大值21.(本小题满分12分)已知函数.()当曲线在处的切线与直线垂直时,求实数的值;()求函数的单调区间;()求证: .(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做,则按所做的第一题计分.22. 选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,点是曲线(为参数)上的动点,以坐标原点为
8、极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.()求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;()若点在轴右侧,点在曲线上,求的最小值.23. 选修45:不等式选讲设函数.()若,求证:;()对于,恒成立,求实数的取值范围.吉林市普通中学20202021学年度高中毕业班第四次调研测试理科数学答案1、 选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分.123456789101112CCADBDBBACDB 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.13. 14. 15. 16. (2分), (3分)17【解析】()法一:当时, 1
9、分当时, 3分是等比数列,即,解得5分所以,的值为,数列的通项公式为6分法二:是等比数列,即3分设的公比为,6分() 8分 12分18.【解析】取中点,连接、,又,得,平面平面,交线为,又平面,则平面,,为中点,以为轴,为轴,为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则, 3分(),所以与不垂直,即与平面不垂直 6分(另解:求出平面法向量,与不平行,则与平面不垂直)()因为平面,设平面的一个法向量7分设为平面的一个法向量,由令,则,即, 10分又因为,如图知,二面角为钝角,所以二面角的余弦值为 12分法二:()由,得,由,,得,所以,则不垂直于,平面,则与平面不垂直. 3分()如图:过做,垂足为,平面
10、平面,交线为,又平面,则平面, 6分所以二面角的补角为所求. 7分过向棱作垂线,垂足为,连接,则就是二面角的平面角,所以, 10分所以,所以二面角的余弦值为 12分19.【解析】()记“只进行两局比赛,逐日联盟晋级强”为事件 3分()记“只进行两局比赛,就能确定晋级强联盟队”为事件 则事件包含逐日联盟晋级或凌霄联盟晋级 7分()记“逐日联盟晋级强”为事件则事件包含三种情况: 逐日联盟胜凌霄联盟,逐日联盟胜登峰联盟: 逐日联盟胜凌霄联盟,逐日联盟负登峰联盟,登峰联盟负凌霄联盟,逐日联盟胜凌霄联盟: 逐日联盟负凌霄联盟,凌霄联盟负登峰联盟,登峰联盟负逐日联盟,逐日联盟胜 凌霄联盟: 12分(注:求
11、对各给2分)20.【解析】()根据题意椭圆上任意一点到点距离的最大值为,最小值为.所以 解得 2分所以因此椭圆的标准方程为 4分()(法一)由(1)知,为椭圆的左焦点,根据椭圆定义知,设,点在圆外 6分 所以,在直角三角形中,8分由圆的性质知,四边形面积,其中9分即()令(),则当时,单调递增;当时,单调递减所以,在时,取极大值,也是最大值此时12分(法二)同法一,四边形面积,其中9分所以当且仅当,即时取等号所以12分 21.【解析】因为, 所以 1分根据题意 2分()解得 ,满足, 4分()当时,令,令或所以的递增区间是,递减区间是当时,令,令所以的递增区间是,递减区间是综上所述:当时,的递增区间是,递减区间是;当时,的递增区间是,递减区间是. 8分(3)由(2)知当时,并且,因此有在恒成立,用替换得,即在恒成立,因此当时不等式恒成立令用替换得,所以即 12分22.【解析】()消去得即曲线的普通方程为 2分曲线的极坐标方程为 ,由 得曲线的直角坐标方程为 4分()P是曲线右支上的动点 设点P坐标为 是曲线上 最小值即点P到曲线的距离 则= 7分,当且仅当时取等号当时,取最小值 最小