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1、对面积的积分,第九章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分,对面积的积分,1. 实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,一、对面积的曲面积分的概念与性质,对面积的积分,前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分,其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式,抽象概括得到对面积的曲面积分的概念,对面积的积分,2. 对面积的曲面积分的定义,1.定义,对面积的积分,3.对面积的曲面积分的性质,对面积的积分,注,对面积的曲面积分的应用,面积,质量,重心,转动惯量
2、,对面积的积分,二、计算法,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,对面积的积分,则,则,对面积的积分,这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式,简述为：一代、二换、三投影,代：将曲面的方程代入被积函数,换：换面积元,投影：将曲面投影到坐标面得投影区域,注：把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 即方程的表达形式,对面积的积分,例1,解,对面积的积分,例2 计算,与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面,解,对面积的积分,在 xoy 内的投影区域,o,x,y,z,对面积的积分,例3 计算,z = 0 与 z = H 之间的圆柱面,解,对面积的积分,由对称性 有,例4,对面积的积分,
3、解,依对称性知：,对面积的积分,对面积的积分,注,对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性,对称于xoy （或yoz ，或 zox ）坐标面,若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是奇函数,若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是偶函数,完全类似于三重积分的对称性,对面积的积分,例5 计算,解,对面积的积分,例6,对面积的积分,解,（左右两片投影相同）,对面积的积分,对面积的积分,例7,解,对面积的积分,对面积的积分,例8 求均匀曲面,的重心坐标,解,由对称性,对面积的积分,故 重心坐标为,对面积的积分,例9,解,对面积的积分,例10 计算,解,由奇偶对称性,上半球面,下半球面,对面积的积分,四、小结,2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.,1、 对面积的曲面积分的概念;,（按照曲面的不同情况分为三种）,对面积的积分,思考题,在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中, 有因子 , 试说明这个因子的几何意义.,对面积的积分,思考题解答,是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数.,对面积的积分,
