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1、对面积的曲面积分(22),10.4 对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念和性质,前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分,其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式,抽象概括得到对面积的曲面积分的概念,对面积的曲面积分(22),1.定义,对面积的曲面积分(22),其物理背景是面密度为 f ( x , y , z ) 的曲面块的质量,2.对面积的曲面积分的性质,由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似,对面积的曲面积分(22),则,则,二、对面积的曲线积分的计算法,按照曲面的不同情况分为
2、以下三种：,对面积的曲面积分(22),则,对面积的曲面积分化为二重积分的计算步骤,1） 将曲面的方程代入被积函数,2）换面积元,3）将曲面投影到坐标面得投影区域,对面积的曲面积分(22),注：,（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则 可利用可加性，分块计算，结果相加,（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 及投影区域,（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 把被积函数化为二元函数,（4）切记任何时候都要换面积元,对面积的曲面积分(22),例1,解,对面积的曲面积分(22),例2 计算,与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面,解,对面积的曲面积分(22),在 xoy
3、 内的投影区域,o,x,y,z,对面积的曲面积分(22),例3 计算,z = 0 与 z = H 之间的圆柱面,解,对面积的曲面积分(22),由对称性 有,例4,对面积的曲面积分(22),对面积的曲面积分(22),对面积的曲面积分(22),注,对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性,对称于xoy （或yoz ，或 zox ）坐标面,若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是奇函数,若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是偶函数,完全类似于三重积分的对称性,对面积的曲面积分(22),例5 计算,解,对面积的曲面积分(22),例6,解,对面积的曲面积分(22),（左右两片投影相同）,对面积的曲面积分(22),例7 求均匀曲面,的重心坐标,解,由对称性,故 重心坐标为,对面积的曲面积分(22),例8,解,对面积的曲面积分(22),例9 计算,解,由奇偶对称性,上半球面,下半球面,对面积的曲面积分(22),注,对面积的曲面积分的应用,面积,质量,重心,转动惯量,对面积的曲面积分(22),小结,1、 对面积的曲面积分的概念;,2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.,（按照曲面的不同情况分为三种）,对面积的曲面积分(22),
