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1、数学归纳法在中学数学中的应用 篇一：浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用2 目 录 1、 数学归纳法 - 3 1.1 归纳法定义 - 3 1.2 数学归纳法体现的数学思想 - 4 1.2.1 从特殊到一般 - 4 1.2.2 递推思想 - 4 2、 数学归纳法在中学数学中的应用技巧- 5 2.1 强调 - 5 2.1.1 两条缺一不可 - 5 2.2 技巧 - 5 2.2.1 认真用好归纳假设 - 5 2.2.2 学会从头看起 - 6 2.2.3 在起点上下功夫 - 7 2.2.4 正确选取起点和过渡 - 8 2.2.5 选取适当的归纳假设形式 - 9 3、 数学归纳法在中学数学中的应用 -
2、9 3.1 证明有关自然数的等式 - 9 3.2 证明有关自然数的不等式 - 11 3.3 证明不等式 - 11 3.4 在函数迭代中的应用 - 12 3.5 在几何中的应用 - 14 3.6 在排列、组合中的应用 - 16 3.7 在数列中的应用 - 16 3.8 有关整除的问题 - 17 浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用 魏福雄 西南大学数学与统计学院，重庆 400715 摘要:数学知识发生过程就是归纳思想应用过程，解题中应用归纳思想,不仅能由此发现给定问题的解题规律，而且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题本文先叙述了归纳的意义、类型，进而讨论以归纳法为主要工具，去探索和发
3、现数学问题的解题途径数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法，具有两种基本意义，首先数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它可以为我们提出猜想，为论证提供基础和依据其次归纳是一种研究方法，归纳是一种又创造性的探索式思维方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两种基本形式不完全归纳和完全归纳本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法：利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题途径等 关键词：数学归纳法；不完全归纳法；完全归纳法 The simple discussion
4、about mathematical induction and using in high school math Wei Fuxiong School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: The occurrence process of mathematical knowledge is precisely the application process of inductive thinking.Using inductive thinking in
5、 problem solving,not only can find a given law for this problem solving,but also can find new objective laws based on practise,put forward a new proposition.This article first describes the significance and type of induction,and then discuss induction as the main tool, to explore and discover mathem
6、atical problem solving approach. Mathematical induction, as summarized by the general as a special way of thinking, has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argu
7、ment. Second, induction is a research method, induction is a creative exploration of another type of thinking, can develop intelligence, broaden thinking, leads to speculation, it plays an important role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical inductio
8、n, in accordance with its general matter is completely divided into two basic forms - incomplete induction and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical induction to find and put forward mathem
9、atical suppose, using induction to find conclusions of the problems, using induction to find problem-solving approach. Key words:Mathematical induction;incomplete induction ;complete induction1、 数学归纳法 1.1 归纳法定义 大家知道，数学中的许多命题都和正整数n有关，这里所说的n，往往是指任意的一个自然数，因此，这样的一个问题也就是一整数命题在数学问题中，每一类问题都有一种专门的方法来解决数学归纳法
10、可以说是解决有关整数问题的一种工具归纳法是从个别的论断归结出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法归纳法的基础是观察与实践，它是人类认识自然、生活、生产经验、处理科学实验材料的一种十分重要而有普遍应用的思想方法在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用流行于我国各地的农谚如“瑞雪兆丰年”、“霜下东风一日晴”等，就是农民根据多年的实践经验进行归纳的结果物理学家、化学家的最基本的研究手段是实验和归纳例如化学中的元素周期表，就是用归纳法发现真
11、理的典型例证再例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法这些归纳法却不能用完全归纳法数学归纳法是一种特殊的论证方法，他使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个普遍规律做出论断虽然说数学归纳法适用于有关整数的问题，但是它在很多数学问题中都有重大的作用，在中学数学中，很多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的效果 数学归纳法证明问题的步骤是：证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n取第一个值n0时结论正确； (2) 假设当nk (k?N?，kn0) 时结论正确, 证明当nk1时结论也正确 完成这两个步骤后, 就
12、可以断定命题对从?开始的所有正整数n都正确1.2 数学归纳法体现的数学思想 1.2.1 从特殊到一般 “从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，而在人类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科，都将受到这一规律的制约数学当然也不例外，同样要被纳入这一规律的模式之中 由于事物的特殊性中包括着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对于“一般”而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知另一方面，由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质，因而当我们在处理问题的时候，若能置待解决的问题于更为普遍的情形中，进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形的思考方式，不仅是可行的，而且是必要的 正因为如此，实践和归纳成了数学家寻找真理和发现真理的主要手段如勾股定理，多面体的面顶棱公式，前n个自然数的立方和公式，二项展开式和杨辉三角形等，无一不是观察、实验和归纳的结果
