《人教版全国高考压轴解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版全国高考压轴解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 讲圆锥曲线中的热点问题 高考分析1. 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要 以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2. 以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件 或结论相关存在性开放问题. 对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出 数学思想方法考查. 真题体验 1.(2015 全国卷 ) 已知),( 00 yxM是双曲线 1 2 : 2 2 y x C 上的一点， F1，F2 是 C的两个 焦点，若0 21 MFMF，则 0 y的取值范围是() A. ) 3 3 , 3 3 ( B. ) 6 3 , 6 3 ( C. ) 3 22 , 3 22
2、 ( D. ) 3 32 , 3 32 ( 2.(2017 全国卷 ) 已知椭圆 )0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C， 四点)1 , 1(1P，)1 ,0(2P，) 2 3 , 1( 3 P ， ) 2 3 , 1( 4 P 中恰有三点在椭圆C上. (1) 求C的方程； (2) 设直线l不经过 2P点且与C相交于BA, 两点. 若直线AP2 与直线BP2的斜率的和为1， 证明：l过定点. 归纳提升 1. 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题( 以所求式子或参数 为函数值 ) ，或者利用式子的几何意义求解. 温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值
3、或范围问题时注意坐标范围的 影响. 2. 定点、定值问题 (1) 定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其 都过某定点，这类问题称为定点问题. 若得到了直线方程的点斜式：)( 00 xxkyy，则 直线必过定点),( 00 yx； 若得到了直线方程的斜截式：mkxy， 则直线必过定点),0(m. (2) 定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐 标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题. 3. 存在性问题的解题步骤： (1) 先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程( 组) 或不等式 ( 组). (
4、2) 解此方程 ( 组) 或不等式 ( 组) ，若有解则存在，若无解则不存在. (3) 得出结论. 热点题型 热点一圆锥曲线中的最值、范围 【例 1】 (2016 浙江卷 ) 如图所示， 设抛物线)0(2 2 ppxy 的焦点为 F，抛物线上的点A到 y 轴的距离等于 |AF| 1. (1) 求 p 的值； (2) 若直线 AF交抛物线于另一点B， 过 B与 x 轴平行的直线和过F 与 AB垂直的直线交于点N， AN与 x 轴交于点M ，求 M的横坐标的取值范围. 归纳提升求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1) 几何法：若题目中的条件和结论能明 显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结
5、合求解. (2) 代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知 参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围. 【训练 1】已知点 A(0，2)，椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x E的离心率为 3 2 ，F 是椭圆 E 的右焦点，直线AF的斜率为 23 3 ，O 为坐标原点. (1) 求 E的方程； (2) 设过点 A的动直线 l 与 E相交于 P，Q 两点，当 OPQ的面积最大时，求l 的方程. 热点二定点、定值问题 命题角度 1圆锥曲线中的定值 【例 21】(2016 北京卷 ) 已知椭圆)0(1: 2 2 2 2 ba b
6、y a x C的离心率为 2 3 ，)0,(aA， B(0，b)，O(0，0)，OAB 的面积为1. (1) 求椭圆 C的方程； (2) 设 P是椭圆 C上一点，直线 PA与 y 轴交于点M ， 直线 PB与 x 轴交于点 N.求证：|AN| |BM| 为定值. 归纳提升1. 求定值问题常见的方法有两种： (1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2. 定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题 选择消元的方向是非常关键的. 【训练2】(2017 唐山一模 ) 已知椭圆 )0
7、(1: 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率为 2 2 ，点 ),( b a bQ在椭圆上，O为坐标原点. (1) 求椭圆 C的方程； (2) 已知点 P，M ，N 为椭圆 C上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的 面积 S为定值，并求该定值. 命题角度 2圆锥曲线中的定点问题 【例 22】 (2017 哈尔滨模拟 ) 已知两点)0 ,2(),0,2(BA，动点P在y轴上的投影是 Q，且 2 2 PQPBPA (1) 求动点P的轨迹C的方程； (2) 过)0, 1(F作互相垂直的两条直线交轨迹C于点NMHG,，且 21,E E分别是GH， MN的中点. 求
8、证：直线 21E E恒过定点. 归纳提升1. 动直线l过定点问题 . 设动直线方程 ( 斜率存在 ) 为tkxy，由题设条件将t 用k表示为mkt，得)(mxky，故动直线过定点)0,( m. 2. 动曲线 C过定点问题 . 引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系 数等于零，得出定点. 【训练 3】 (2017 菏泽调研 ) 已知焦距为22的椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C 的右顶点为 A， 直线 y 4 3 与椭圆 C交于 P， Q两点(P 在 Q的左边 ) ，Q在 x 轴上的射影为B， 且四边形ABPQ 是平行四边形. (1) 求椭圆 C的方程
9、； (2) 斜率为k 的直线 l 与椭圆 C交于两个不同的点M ，N.若 M是椭圆的左顶点，D是直线 MN 上一点，且DA AM.点 G是 x 轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和 DG的 交点，求证：点G是定点. 热点三圆锥曲线中的存在性问题 【例 3】(2017 长沙调研 ) 已知椭圆 )0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C 的离心率为 1 2 ， 且过点) 2 3 , 1(P， F为其右焦点. (1) 求椭圆 C的方程； (2) 设过点A(4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点( 点 M在 A，N 两点之间 ) ，是否存在直 线 l 使AMF与MFN的
10、面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 归纳提升1. 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种 . 若探究条件， 则可先假设条件成立， 再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达 式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 2. 求解步骤：假设满足条件的元素( 点、直线、曲线或参数 ) 存在，用待定系数法设出，列出 关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素( 点、直线、曲线或参数 ) 存在，否则， 元素( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在. 【训练 4】 (2017 新乡三模 ) 已知抛物线)0(2: 2 ppyxC的焦点
11、为F，直线 2xy2 0交抛物线C于 A，B 两点，P 是线段 AB的中点，过P作 x 轴的垂线交抛物线C于点 Q. (1)D 是抛物线C上的动点，点E(1，3)，若直线AB过焦点 F，求|DF| |DE| 的最小值； (2) 是否存在实数p，使|2QA QB | |2QA QB | ？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理 由. 归纳提升 1. 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握： (1) 从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2) 直接推理、计算，在整个过程中消 去变量，得定值； (3) 在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来， 并令其系数为零，可以解
12、出定点坐标. 2. 圆锥曲线的范围问题的常见求法 (1) 几何法： 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2) 代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数， 再求这个函数的最值. 3. 存在性问题求解的思路及策略 (1) 思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不 存在. (2) 策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论； 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. 专题训练 一、选择题 1. 21,F F是椭圆1 4 2 2 y x 的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则 21 PF
13、PF的最大值是 ()A. 2B.1C.2D.4 2.(2017 沈阳二模 ) 若点P为抛物线 2 2xy上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小 值为()A.2B. 1 2 C.1 4 D.1 8 3.(2017 北京西城区调研 ) 过抛物线xy34 2 的焦点的直线l 与双曲线 C： 1 2 2 2 y x 的 两个交点分别为),(),( 2211yxyx ，若0 21x x ，则 k 的取值范围是() A.) 2 1 , 2 1 (B.), 2 1 () 2 1 ,(C.) 2 2 , 2 2 ( D. ), 2 2 () 2 2 ,( 4.(2017 全国卷 ) 设A，B 是椭圆1
14、3 : 22 m yx C 长轴的两个端点. 若C上存在点M满足 AMB 120，则m的取值范围是() A.(0 ，1 9 ， )B.(0 ，3 9 ， )C.(0 ，1 4 ， )D.(0 ，3 4 ， ) 5. 在直线 y2 上任取一点Q ，过 Q作抛物线yx4 2 的切线，切点分别为A，B，则直线 AB恒过的点的坐标为()A.(0 ，1)B.(0 ，2)C.(2 ，0)D.(1 ，0) 二、填空题 6. 已知双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的渐近线与圆024 22 yxx相交，则双曲线 的离心率的取值范围是 _. 7. 已知抛物线yxC8: 2 的焦点为F，动点
15、 Q在 C上，圆 Q的半径为1，过点 F 的直线与圆 Q切于点 P，则FP FQ的最小值为 _. 8.(2017 济南模拟 ) 已知抛物线xy4 2 ，过焦点 F 的直线与抛物线交于A，B 两点，过 A， B分别作 x 轴，y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC| |BD| 的最小值为 _. 三、解答题 9.(2017 延安调研 ) 如图，椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x E， 经过点 A(0，1)，且离心率为 2 2 . (1) 求椭圆 E的方程； (2) 经过点 (1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明： 直线 AP与 AQ的斜率之和为定值. 10.(2017 昆明二模 ) 已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率为 2 2 ， 短轴长为 2. 直线 l ： ykxm与椭圆 C交于 M ，N 两点，又 l 与直线 y 1 2 x，y 1 2 x 分别交于 A，B 两点，其中 点 A在第一象限，点B在第二象限，且 OAB 的面积为2(O 为坐标原点 ). (1) 求椭圆 C的方程； (2) 求OM ON的取值范围.
