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1、文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持. 导数与定积分（尖刀班）(3) 【探究 10】 ：不等式恒成立与存在性问题 思路提示 在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转 化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函 数 （1）若函数fx在区间 D上存在最小值 min fx和最大值 max fx，则 不等式fxa在区间 D上恒成立 min fxa； 不等式fxa在区间 D上恒成立 min fxa； 不等式fxb在区间 D上恒成立 max fxb； 不等式fxb在区间 D上恒成立 max fxb； （
2、2）若函数fx在区间 D上不存在最大（小）值，且值域为,m n，则 不等式fxafxa或 在区间 D上恒成立ma 不等式 fxbfxb或在区间 D上恒成立mb 例 14. 已知函数lnfxxx （1）求fx的最小值 （2）对所有1x都有1fxax，求实数a的取值范围 分析第（ 2）问可用分离变量的方法求解参数的取值范围 解析函数lnfxxx的定义域是0,， （1）1 lnfxx，令0fx，解得 1 x e ，当 1 0,x e 时0fx，当 1 ,x e ，时0fx； 故fx在 1 0, e 上单调递减，在 1 , e 上单调递增，所以，当 1 x e 时，函数取得最小 值 11 f ee （
3、2）依题意，得1fxax在1,)上恒成立，即不等式 1 lnax x 对于x 1,) 恒成立，即 min 1 ln,1, +axx x ） 设 1 ln1 ,g xxx x 则 22 111x gx xxx ，令0gx，得1x，当1x 时，因为 2 1 0 x gx x ，故g x在1,)上是增函数，所以g x在1,)上的最 小值是11g， 故a的取值范围是(, 1 评注对于恒成立问题，其根本思路是转化，而转化只有两种方法1，变量分离法，2，不 分离参数法，本例第（）问运用分离变量的方法，使得构造中的函数不含有参数，避免了 对参数的分类讨论，对于不等式验证区间端点成立的情形，一般采用不分离参数
4、法（见本例 的变式 1） ，同学们应该视不同的情形使用不同的方法 文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持. 变式 1 设函数 2 12ln 1fxxx （1）求fx的单调区间； （2）若当 1 1,1xe e 时，不等式fxm恒成立，求实数m的取值范围； （3）若关于x的方程 2 fxxxa在区间0, 2上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围 变式 2 （2012 湖南 22 （1） ） 已知函数 ax fxex， 其中0a， 若对一切,1xR fx 恒成立，求 a的取值集合 例 15. 设函数f xx xee （1）证明 ; f x的导数f0 x； （2）若
5、对所有0 x，都有fxax，求a的取值范围 解析（1） xx fxee，由基本不等式得22 xxxx eeee，故2fx， 当且仅当0 x时2fx （2）令0 xx g xfxaxeeax x，由 0 =022 xxxx ggxeeaeeaa， 当2a时，0gx，函数g x在0,)上单调递增，则00g xg，满足 题意 当2a时， ，因为函数gx在0,)上单调递增， 令 0 0gx，得当 0 0,xx时， 0gx，函数g x在 0 0, x上单调递减， 当 0, xx时，0gx，函数g x 在 0, x上单调递增，因此，当 0 0,xx时0g x，不满足在 min x0,),0g x，故2a不
6、满足题意，舍去 综上，a的取值范围为(, 2 评注对于恒成立问题，其根本思想是“转化”，而转化有两种方法：分离参数法和不分离 参数法， 对于不等式试验区间端点值成立的情形，一般采用不分离参数法，相比分离参数法 操作上简单，可以视不同情形，选择不同的方法 变式 1 （2012 天津 20）已知lnfxxxa的最小值为，其中0a （）求a的值； （）若对任意的0,)x，均有 2 fxkx成立，求实数k的最小值 变式已知函数ln1 ,fxxa xaR （）讨论函数fx的单调性； （）当1x时， ln f 1 x x x 恒成立，求a的取值范围 思路提示 （）若函数fx在区间上存在最小值 min fx
7、 和最大值 max fx ，即,fxm n， 则对不等式有解问题有以下结论： 不等式afx在区间 D上有解 max afx； 不等式afx在区间 D上有解 max afx； 不等式afx在区间 D上有解 min afx； 文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持. 不等式afx在区间 D上有解 min afx； （）若函数fx在区间 D上不存在最大（小）值，如值域为,m n，则对不等式有解 问题有以下结论： 不等式 afxfx或a在区间 D上有解an 不等式b fxfx或b在区间 D上有解bm 例 16. 已知函数 1 ln, a fxxax g xaR x （）若1
8、a，求函数fx的极值； （）设函数h xfxg x，求函数h x的单调区间； （）若在1 e，上存在一点 0 x，使得 00 fxg x成立，求a的取值范围 分析若在区间1,e上存在一点 0 x，使得 00 fxg x成立，转化为函数fxg x 在区间1,e上的最小值小于 解析（）当a1时，lnfxxx， 函数的定义域为|0 x x， 11 1 x fx xx 当0,1x时0fx，fx单调递减； 当1,x时，0fx，fx单调递增，fx的极小值为11f （） 1 ln,0 a h xfxg xxaxx x ， 2 22 11 a+1 xax xax hx xx ，导函数hx的零点为1xa 若10
9、a，即1a，则0 +h x 在，上单调递增；若10a，即1a，则 01h xa在，上单调递减，在1,a上单调递增 （）依题意，只需要 000 min 0,x1,fxg xe，令 +1 ln1, a h xfxg xxaxxe x ， 2 222 111 1 1 xaxxaxa aa h x xxxx ， 讨论h x的零点与区间1,e的位置关系 若11a时，即0,0,ahxh x单调递增， min 120h xha，得 2a ； 若11ae时，即01ae，h x 在1,a+1)上单调递减，在( a+1,e上单调递 增，故 min 11ln11,0,1h xh aaaaae，令 1ln11,0,1
10、 ,012p xxxxxepp e，1p xx 12x，0,1xe，因此2,0,1p xxe，不符，故舍去 若1ae时，即1ae，h x在1,e上单调递减，则 min 1 0 a h xh eea e ，得 2 1 1 e ae e 成立 文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持. 综上，a的取值范围为 2 1 ,2, 1 e e U 变式（北京丰台期末理）设函数ln b fxxax x ，在1x处取得 极值 （）求a与b满足的关系式；（）若1a， 求函数fx的单调区间；（）若3a， 函数 22 3g xa x，若存在 12 1 , 2 2 mm ，使得 12 |fg
11、| 9mm成立，求a的 取值范围 思路提示 （）对于任意的 1 ,xa b，总存在 2 m,xn，使得 1212 maxmax fxg xfxg x； （）对于任意的 1 ,xa b，总存在 2 m,xn，使得 1212 minmin fxg xfxg x； （）若存在 1 ,xa b，对于任意的 2 m,xn，使得 1212 minmin fxg xfxg x； （）若存在 1 ,xa b，对于任意的 2 m,xn，使得 1212 maxmax fxg xfxg x； （）对于任意的 1 ,xab， 2 m,xn使得 1212 maxmin fxg xfxg x； （）对于任意的 1 ,xa
12、b， 2 m,xn使得 1212 minmax fxg xfxg x； （）若存在 1 ,xa b，总存在 2 m,xn，使得 1212 minmax fxg xfxg x （）若存在 1 ,xa b，总存在 2m,xn ，使得 1212 maxmin fxg xfxg x 例 17. 已知 1 ln1 a fxxaxaR x （）当 1 2 a时，讨论fx的单调性； （）设 2 24g xxbx，当 1 4 a时，若对任意 1 0, 2x，存在 2 1, 2x，使 12 fxg x求实数b的取值范围 分析对于任意的 1 0, 2x，存在 2 1,2x，使得 12 fxg x成立转化为 12
13、minmin fxg x 解析（）函数fx的定义域为|0 x x， 2 222 111 11 axaxaxxa a fxa xxxx 当0a时， 2 1x fx x ，由0fx，得1x，由0fx，得01x 文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持. 当0a时， 2 1 1 a axx a fx x ， （）当 1 1 a a 时，得 2 2 1 1 1 2 , 2 x afx x ， 函数fx在0,上单调递减 （）当 1 0 2 a时， 1 1 a a ， 当x变化时，,fxfx变化情况如表所示 表 0 0 极小值极大值 函数fx的单调递减区间为0, 1和 1 , a
14、 a ，单调递增区间为 1 1, a a （）当0a时， 1 0 a a ，函数fx在0, 1上单调递减，在1,上单调递增； 综上，当0a时，函数fx在0, 1的单调递减区间为，递增区间为1,；当 1 0 2 a时，函数fx在0, 1， 1 , a a 上单调递减，在 1 1, a a 上单调递增； 当 1 2 a时，函数fx在0,上单调递减 （）依题意， 1212 minmin ,0,2 ,1,2fxg xxx，当 1 4 a时， 3 ln1 44 x fxx x 在0,1上递减，在1,2上递增，故 2 min 1 1 = -,24,1,2 2 fxfg xxbxx 当1xb时， min 1
15、52g xgb，则 1 52 2 b，即 11 4 b（舍） 当12b时， 222 min 244g xg bbbb，得 2219 4, 22 bb即 3 2 2 b或 3 2 2 b（舍） 当2b时， min 284g xgb，则 1 84 2 b，得 17 8 b 综上，实数b的取值范围是 17 , 8 ） 评注对于存在性与任意性的综合问题，不妨先定存在，如本例中对任意的 1 0,2x，总 存在 2 1,2x，使 12 fxg x，令 2 g xM，则 1 0, 2 ,x 11 min fxMfxM，设 11 min ,0,2fxmx，再分析存在 22 min 1,2 ,xg xm，则，即最终转化为 21 minmin g xfx的问题 文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持. 变式已知函数 （）求的单调区间； （）设，若对任意的，均存在，使得 ，求的取值范围 变式已知函数， （为常数，） （）若是函数的一个极值点，求的值； （）求证：当时，在上是增函数； （）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实 数的取值范围
