概率统计四大解题策略(理科原卷版)

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1、1 03 概率统计四大解题策略 一 【学习目标】 1会收集现实问题中两个有关联变量的数据并作出散点图，会利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程； 3了解独立性检验(只要求 2 2 列联表 )的基本思想、方法及其简单应用； 4了解回归的基本思想、方法及简单应用 二 【知识要点】 1相关关系的分类 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称之 为； 点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为 2线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称

2、这两个变量之间具有线性相关关系， 这条直线叫 3回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的_ 最小的方法叫最小二乘法 (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归方程为y b xa，则 b n i1 （xix ）（ yi y ） n i1 （xix ） 2 n i1xiyinx y n i1x 2 inx 2 ， a y bx . 其中 b 是回归方程的_ ， a 是在 y 轴上的截距 4样本相关系数 r n i1 （xix ）（ yiy ） n i1 （xix ） 2 n i1 （yi y ） 2 ，用来衡量两个变

3、量间的线性相关关系 (1)当 r0 时，表示两个变量； (2)当 r0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关关系 5线性回归模型 2 (1)ybxae 中， a，b 称为模型的未知参数，e 称为随机误差 (2)相关指数 用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R21 n i1（yiy ）2 n i1（yiy ） 2， R 2 的值越大，说明残差平方 和越小，也就是说模型的拟合效果_ 在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变化的贡献率，R2 越接近于1，表示回归效果越好 6独立性检验 (1)用变量的不同 “ 值” 表示个体所需的不同类别，这种变量称为分类变量 (2)列出的两个分类变量的

4、频数表，称为列联表 (3)一般地，假设有两个分类变量X 和 Y，它们的值域分别为x1，x2 和y1，y2 ，其样本频数列联表(称 2 2 列联表 )为： y1y2总计 x1a b ab x2c d cd 总计ac bd abcd K 2 n（adbc） 2 （a b）（ ac）（ c d）（ bd）(其中 n abc d 为样本容量 )，可利用独立性检验判断表来判 断“X与 Y 的关系 ” 这种利用随机变量K 2 来确定在多大程度上可以认为“ 两个分类变量有关系” 的方法称为 两个分类变量的独立性检验 三【类型汇总】 （一）文字关 抓关键语句，破干扰信息 （二）图表关 转换信息建模型 （三）计

5、算关 重视计算防失分 （四）概率模块内交汇 （五）概率统计交汇 （六）概率统计与数列交汇 （七）概率统计与函数不等式交汇 （八）概率统计与其它知识的综合 四【题型方法规律总结】 （一）文字关 抓关键语句，破干扰信息 例 1.山东省 2020 年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3 门统一高考科目成绩和自主选择 的 3 门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为 750 分.其中， 统一高考科目为语文、数学、 外语， 3 自主选择的3 门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6 科中选择 3 门作为选考科目，语、数、外三科各占150 分，选考科目成绩

6、采用“ 赋分制 ” ，即原始分数不直接用，而是 按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等 级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、共 8 个等级。参照正态分布 原则，确定各等级人数所占比例分别为、.等级考试科目成绩 计入考生总成绩时， 将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、 81-90、 71-80， 61-70、51-60、41-50、31-40、21-30 八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明 . 某同学化学学科原始分为65 分，该学科等级的原始分分布区间为58 69，则该同学化学学科的原始成 绩

7、属等级 .而等级的转换分区间为6170，那么该同学化学学科的转换分为： 设该同学化学科的转换等级分为，求得. 四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67. （1）某校高一年级共2000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考 试原始成绩基本服从正态分布. （i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84 分，等级为，其所在原始分分布区间为8293，求小明 转换后的物理成绩； （ii ）求物理原始分在区间的人数； （2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4 人，记表示这 4 人中等级成绩在区间的人数， 求的分布列和数学期望. （附：若随机变量，则， ） （二）图表关 转

8、换信息建模型 例 2随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局，以及国家邮 政管理总局对快递业的宏观调控，SF 快递收取快递费的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10 元；重量 超过 1kg 的包裹，在收费10 元的基础上，每超过1kg（不足 1kg，按 1kg 计算）需再收5元 .某县 SF 分代 4 办点将最近承揽的100 件包裹的重量统计如下： 重量（单位：kg）（0，1（1，2（2，3（3，4（4，5 件数43301584 对近 60 天，每天揽件数量统计如下表： 件数范围0100101200201300301400401500 件数50150250

9、350450 天数663016 以上数据已做近似处理，将频率视为概率. （1）计算该代办点未来5 天内不少于2 天揽件数在101300 之间的概率； （2）估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值； 根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他 费用 .目前该代办点前台有工作人员3 人，每人每天揽件不超过150 件，日工资110 元.代办点正在考虑是否 将前台工作人员裁减1 人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人 员 1 人？ （三）计算关 重视计算防失分 例 3. “ 工资条里显红利,个税新政人民心”.随着 2

10、019 年新年钟声的敲响,我国自 1980 年以来 ,力度最大的一次 个人所得税 (简称个税 )改革迎来了全面实施的阶段.2019 年 1 月 1 日实施的个税新政主要内容包括：（ 1）个 税起征点为5000 元； （2）每月应纳税所得额(含税 )收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣 除包括住房、子女教育和赡养老人等. 新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税 )计算方法及其对应的税率表如下： 旧个税税率表(个税起征点3500 元 )新个税税率表(个税起征点5000 元) 缴税 级数 每月应纳税所得额(含税 )收入 个税起征点 税率 (%) 每月应纳税所得额(含税 )收入个 税起征点 -专

11、项附加扣除 税率 (%) 1不超过 1500 元部分3不超过 3000 元部分3 2超过 1500 元至 4500 元部分10超过 3000 元至 12000 元部分10 3超过 4500 元至 9000 元的部分20超过 12000 元至 25000 元的部分20 5 4超过 9000 元至 35000 元的部分25超过 25000 元至 35000 元的部分25 5超过 35000 元至 55000 元部分30超过 35000 元至 55000 元部分30 随机抽取某市1000 名同一收入层级的IT从业者的相关资料,经统计分析 ,预估他们2019 年的人均月收入 24000 元.统计资料还

12、表明,他们均符合住房专项扣除；同时 ,他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子, 并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、 只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是 2:1:1:1 ；此外 ,他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房 1000 元/月, 子女教育每孩1000 元/月,赡养老人2000 元 /月等。 假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除,将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月 收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想,解决

13、如下问题： （1）设该市该收入层级的IT从业者 2019 年月缴个税为X元,求X的分布列和期望； （2）根据新旧个税方案,估计从 2019 年 1 月开始，经过多少个月,该市该收入层级的IT从业者各月少缴交 的个税之和就超过2019 年的月收入？ （四）概率模块内交汇 某大学就业部从该大学2018 年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100 人进行了问卷调查，其中有一项 是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000 元到 10000 元之间，根据统计数据得到如下 的频率分布直方图： 若月薪落在区间 22xsxs， 的左侧，则认为该大学本科生属“ 就业不理想 ” 的学生，学校将联系

14、本人， 咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见其中xs r、 分别为样本平均数和样本标 准差，计算可得s1500 元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （1）现该校2018 届大学本科毕业生张茗的月薪为3600 元，试判断张茗是否属于“ 就业不理想 ” 的学生？ 6 （2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3 组中抽出6 人，各赠送 一份礼品，并从这6 人中再抽取2 人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2 人中恰有1 人月薪 不超过 5000 元的概率； （3）位于某省的一高校2018 届某专业本科毕业生共200 人，现他们决

15、定于2019 年元旦期间举办一次同学 联谊会，并收取一定的活动费用假定这200 人与所抽取样本中的100 人月薪分布情况相同，并用样本频 率进行估计，现有两种收费方案： 方案一：按每人一个月薪水的10%收取； 方案二： 月薪高于样本平均数的毎人收取800 元，月薪不低于4000 元但低于样本平均数的每人收取400 元， 月薪低于4000 元的不收取任何用 问：哪一种收费方案最终总费用更少？ （五）概率统计交汇 例 5.十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，我省某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚 持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植脐橙，并利用互联网电商进行销售，为了更好销售，现从该村

16、的脐 橙树上随机摘下100 个脐橙进行测重，其质量分布在区间 200,500 （单位：克），统计质量的数据作出其 频率分布直方图如图所示： （1）按分层抽样的方法从质量落在350, 400)，400,450)的脐橙中随机抽取5 个，再从这5 个脐橙中随 机抽 2 个，求这2 个脐橙质量至少有一个不小于400 克的概率； （2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还 有 100000 个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案： A所有脐橙均以7元 /千克收购； B低于 350 克的脐橙以2 元/个收购，其余的以3 元/个收购 请你通过计算为该村选择收益较好的方案. 7 （参考数据： （225 0.05 275 0.16325 0.24 375 0.3425 0.2475 0.05354.5） （六）概率统计与数列交汇 例 6. 棋盘上标有第 0 、 1、2、L 、100站，棋子开始位于第0 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷 出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第99站或第100站时，游戏结束. 设棋子位于第n站