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1、导数经典 20 题,目录 导数经典 20 题. 1 一、【不等式恒成立-单变量】5 道. 3 二、【不等式恒成立-双变量】5 道. 13 三、【不等式证明】5 道 . 23 四、【零点问题】5 道 . 32,一、【不等式恒成立-单变量】,【第 01 题】,x,（2017广东模拟）已知 f x ln x a ,求 f x 的单调区间和极值； 若对任意 x 0 ，均有 x 2ln a ln x a 恒成立，求正数a 的取值范围 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的 极值即可； （2）问题转化为2ln a ln a 1 ，求出 a 的范围即可,x,x2
2、x2,f x 1 a x a （ x 0 ），,即对任意 x 0 ，均有2ln a ln x a 恒成立，,x 由（1）得： a 0 时， f x 的最小值是ln a 1 ，,故问题转化为： 2ln a ln a 1 ，即ln a 1， 故0 a e 【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查,x,【解答】解：（1） f x ln x a （ x 0 ），,当 a 0 时， f x 0 ， f x 在0, 上递增，无极值； 当 a 0 时， 0 x a 时， f x 0 ， f x 在0, a 上递减， x a 时， f x 0 ， f x 在 a, 上递增
3、， f x f a ln a 1 ，无极大值 极小值 （2）若对任意 x 0 ，均有 x 2ln a ln x a 恒成立，,转化思想，是一道中档题,一、【不等式恒成立-单变量】,【第 02 题】 （2019西安一模）已知函数 f x x 1ex ax2 （其中e 为自然对数的底数） 判断函数 f x 极值点的个数，并说明理由； 若对任意的 x 0 ， f x ex x3 x ，求a 的取值范围,【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的极值点的个数即可； （2）将原问题转化为恒成立的问题，然后分类讨论确定实数 a 的取值范围即可 【解答】解：（1） f x xex 2ax x ex
4、 2a ， 当 a 0 时， f x 在,0 上单调递减，在0, 上单调递增， f x 有 1 个极值点；,当0 a 1 时， f x 在,ln 2a 上单调递增，在ln 2a,0 上单调递减，在0, 上单调,2 递增， f a 有 2 个极值点；,2,当 a 1 时， f x 在 R 上单调递增，此时函数没有极值点；,当 a 1 时， f x 在,0 上单调递增，在0,ln 2a 上单调递减，在ln 2a, 上单调递,2 增， f a 有 2 个极值点,2,综上，当a 1 时， f x 没有极值点；当a 0 时， f x 有 1 个极值点；当a 0 且 a 1,当 x 0 时， ex x2
5、ax 1 0 ，,x2,x,e x 1,即 a ,对x 0 恒成立,x,x2 设 g x e x 1 （ x 0 ），,2 时， f x 有 2 个极值点 （2）由 f x ex x3 x 得 xex x3 ax2 x 0 ,2,x, x 1ex x 1,则 g x ,，,设 h x ex x 1 ，则h x ex 1， 由 x 0 可知h x 0 ， h x 在0, 上单调递增， h x h0 0 ，即ex x 1 ， g x 在0,1 上单调递减，在1, 上单调递增， g x g 1 e 2 ， a e 2 ， 故 a 的取值范围是,e 2 【点评】本题主要考查导数研究函数的极值点，导数研
6、究不等式恒成立的方法，分类讨论 的数学思想等知识，属于中等题,【第 03 题】,x,（2017 春太仆寺旗校级期末）已知函数 f x x a ln x ， g x 1 a （ a R ）,若a 1 ，求函数 f x 的极小值； 设函数h x f x g x ，求函数h x 的单调区间； 若在区间1,e 上存在一点 x0 ，使得 f x0 g x0 成立，求 a 的取值范围 【分析】（1）先求出其导函数，让其大于 0 求出增区间，小于 0 求出减区间即可得到函数 的单调区间进而求出函数 f x 的极值； （2）先求出函数h x 的导函数，分情况讨论让其大于 0 求出增区间，小于 0 求出减区间
7、即可得到函数的单调区间；,000,x,（3）先把 f x g x 成立转化为h x 0 ，即函数h x x 1 a a ln x 在1,e 上的最,小值小于零；再结合（2）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出 a 的取值范围 【解答】解：（1） f x 的定义域为0, ，,xx,当 a 1 时， f x x ln x ， f x 1 1 x 1 ，,所以 f x 在 x 1 处取得极小值 1,x,（2） h x x 1 a a ln x ，,x,x2x2,h x 1 1 a a x 1 x 1 a ，,当a 1 0 时，即 a 1 时，在0,1 a 上 h x 0 ，在1 a, 上 h x 0
8、 ， 所以h x 在0,1 a 上单调递减，在1 a, 上单调递增； 当1 a 0 ，即 a 1 时，在0, 上 h x 0 ，,所以，函数h x 在0, 上单调递增 （3）在区间1,e 上存在一点 x0 ，使得 f x0 g x0 成立，即在1,e 上存在一点 x0 ，使得 h x0 0 ，,由（2）可知， 当1 a e ，即 a e 1 时， h x 在1,e 上单调递减， 所以h x 的最小值为he ， e2 1 由 he e 1 a a 0 可得a ， ee 1,e 1,2 因为e 1 ,e 1，,所以a,e 1, e2 1 ；,a 2 ,【点评】本题第一问考查利用导函数来研究函数的极
9、值在利用导函数来研究函数的极值 时，分三步求导函数，求导函数为 0 的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负， 原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值,x,即函数h x x 1 a a ln x 在1,e 上的最小值小于零,当1 a 1 ，即 a 0 时， h x 在1,e 上单调递增， 所以h x 最小值为h1 ，由 h1 1 1 a 0 可得a 2 ； 当1 1 a e ，即0 a e 1 时，可得h x 最小值为h1 a ， 因为0 ln 1 a 1， 所以， 0 a ln 1 a a ， 故 h1 a 2 a a ln 1 a 2 ， 此时， h1 a 0 不成立,综上可得，所求 a
10、 的范围是： a, e2 1 或,e 1,【第 04 题】 （2019蚌埠一模）已知函数 f x a x2 x ln x 当a 1 时，求函数 f x 的单调区间； 若 f x 0 恒成立，求 a 的值 【分析】（1）代入 a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区 间即可；,ln x,（2）通过讨论 x 的范围，问题转化为0 x 1 时， a ,x2 x,ln x,， x 1 时， a ,x2 x,，令,g x ,ln x,x2 x,，根据函数的最值求出 a 的范围，取交集即可,【解答】解：（1） a 1 时， f x x2 x ln x ，（,x 0 ）,故 f x
11、2x 1 1 2x 1 x 1 ， xx 令 f x 0 ，解得： x 1 ， 令 f x 0 ，解得： 0 x 1 ， 故 f x 在0,1 递减，在1, 递增 （2）若 f x 0 恒成立，即a x2 x ln x ，,ln x, x 0,1 时， x2 x 0 ，问题转化为a ,x2 x,（ x 0,1 ）， x 1 时， x2 x 0 ，问题,ln x,转化为a ,x2 x,（ x 1 ），,令 g x ,ln x,x2 x,，,则 g x x 1 2x 1ln x ， x2 x2 令 h x x 1 2x 1ln x ，,xx,x2,则 h x 1 1 2ln x ， h x 1 2
12、 0 ，,故 h x 在0,1 和1, 内都递减， x 0,1 时， h x h1 0 ，故 h x 在0,1 递增， h x h1 0 ，,故 x 0,1 时， g x 0 ， g x 在0,1 递减， 而 x 1 时， g x 1 ， 故 x 0,1 时， g x 1，故 a 1 ， x 1, 时， h x h1 0 ，故 h x 在0,1 递减， h x h1 0 ， 故 x 1, 时， g x 0 ， g x 在1, 递减， 而 x 1 时， g x 1 ， 故 x 1, 时， g x 1，故 a 1 ， x 1 时，显然成立 综上： a 1 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，
13、考查导数的应用以及函数恒成立问题，考 查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题,【第 05 题】 （2019南昌一模）已知函数 f x ex x ln x a （ e 为自然对数的底数，a 为常数，且 a 1 ） 判断函数 f x 在区间1,e 内是否存在极值点，并说明理由； 若当a ln 2 时， f x k （kZ）恒成立，求整数 k 的最小值 【分析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可； （2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数 k 的最小值即可, ,x,x,1,【解答】解：（1） f x eln x x a 1,，,x,令 g x ln x x 1 a 1
14、， x 1,e ，则 f x ex g x ，,2 g x x x 1 0 恒成立，所以 g x 在1,e 上单调递减，,x2 所以 g x g 1 a 1 0 ，所以 f x 0 在1,e 内无解 所以函数 f x 在区间1,e 内无极值点 （2）当a ln 2 时， f x ex x ln x ln 2 ，定义域为0, ，, ,x,x, ,11,x,f x eln x x ln 2 1 ，令h x ln x x ln 2 1，,2, 2 , ,由（1）知， h x 在0, 上单调递减，又h 1 1 0 ， h1 ln 2 1 0 ，,1 2 ,11,所以存在 x 1 ,1 ，使得h x 0
15、 ，且当 x 0, x 时， h x 0 ，即 f x 0 ，,当 x x1, 时， h x 0 ，即 f x 0 所以 f x 在0, x1 上单调递增，在 x1, 上单调递减， 所以 f xmax f x1 e 1 x1 ln x1 ln 2 x,1,11,1,由 h x 0 得ln x,x,11,1,x, x 1 ln 2 1 0 ，即ln x x ln 2 1 1 ，,1,x, 1,1 ,x1 , 1 ,1, 2,所以 f x e1 ， x ,1 ，, ,x,1 ,x ,令 r x e1 ，, 1 , 2 , ,2,x, 1, xx,x ,1 ， 则 r x e 1 1 0 恒成立，,
16、 2 , 2 , ,max,所以r x 在 1 ,1 上单调递增，所以 e r 1 r x r 1 0 ，所以 f x, 0 ，,22,1 , 1 1 e, 2 ,又因为 f e2 ln 2 ln 2 1，,所以1 f xmax 0 ，所以若 f x k （kZ）恒成立，则 k 的最小值为 0 【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等 知识，属于中等题,二、【不等式恒成立-双变量】,【第 06 题】,x,（2019广元模拟）已知函数 f x a ln 1 x （ a R ）， g x x2emx （ m R ）,1 x 当a 1 时，求函数 f x 的最大值； 若a 0 ，且对任意的 x1 ， x2 0, 2 ， f x1 1 g x2 恒成立，求实数m 的取值范,围 【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可； （2）令 x f x 1 ，根据函数的单调性分别求出 x 的最小值和 g x 的最大值，得 到关于m 的不等式，解出即可 【解答】解：（1）函数 f x 的定义域为1, ，,1 x,1 x21 x2,当 a 1
