考研概率论与数理统计解答题常考的6 个题型 1、全概和贝叶斯公式 例：在电源电压不超过200V、在 200240V和超过 240V三种情形下，某种电子元件损 坏的概率分别为0.1 、0.001 和 0.2 ，设电源电压XN（220，25 2） ，试求 （1）该电子元件损坏的概率； （2）该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率 919.0 40.1 885.0 20.1 841.0 00.1 788.0 80.0 726.0 60.0 655.0 40.0 579.0 20.0 530.0 10.0 )(x x 表中 （x）是标准正态分布函数 解： 200 1 xA, 240200 2 xA, 240 3 xA 该类原件损坏B (1) 3 1 / i ii ABpApBp 06418.02.0212.0001.0576.01.0212.0 212.0788.018 .0 25 220200 200 1 xpAp 8 .08.0 25 220200 25 220240 2 Ap 576.018 .02 212.08.01 25 220240 1240 3 xpAp (2) 008975.0 06418.0 001.0576.0/ / 22 2 Bp ABpAp BAp 2、二项分布 例：设测量误差XN （ 0，10 2） 。
试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的 绝对值大于19.6 的概率 ， 并用泊松分布求出的近似值（要求小数点后取两位有效数字） 附表 ： 001.0002.0007.0018.0050.0135. 0368. 0 7654321 e 解：y“100次测量中误差绝对值大于6 .19的次数”， pBy,100 6 .196.1916.19xpxpp 10 06 .19 10 06.19 1 96. 122196.121 05.0975.02205. 0 ,100 By 2 0 13 i iypyp 87.0 ! 2 5 ! 1 5 ! 0 5 1 505.0100 5 2 5 1 5 0 eee np 3、二维随机变量 例：设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 Y X 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 若随机事件 X=0与 X+Y=1 互相独立，则 A、a=0.2, b=0.3 B、a=0.1, b=0.4 C、a=0.3, b=0.2 D、a=0.4, b=0.1 解： )1()0()1,0(YXpXpYXXp )1()0() 1, 0(YXpXpYXp 11.04 .0 )(4.0( ba baaa 1.0,4.0ba 例：设随机变量X在区间)1 ,0(上服从均匀分布，在)10(xxX的条件下， 随机 变量Y在区间),0(x上服从均匀分布，求 () 随机变量X和Y的联合概率密度； () Y的概率密度； () 概率 1YXP 解： （I） 其他0 101x nf X 其他0 10 1 / / xy xxyf XY 条件分布 其他0 10 1 /, / xy xxyfnfyxf XYX （II）当10y时， dxyxfyfY, 1 ln 1 y ydx x 其他.0 10,lnyy yfY 10 xy （III ） 1 ,1 yx dxdyyxfyxp x x dy x dx 1 1 2 1 1 2ln1 4、数字特征 例：一辆送客汽车，载有 m位乘客从起点站开出，沿途有 n 个车站可以下车，若到达一 个车站， 没有乘客下车就不停车。
设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽 车平均停车次数 解： 没 站有人下车第 0 1i xini,1 i x0 1 p ？ m i n xp 1 10 m i n xp 1 111 m i n Bx 1 1, 1 m i n xE 1 11 n i i xExE 1 n xxx 1 m n nxE 1 11 10分解 x分布率难写 （10分解）口说 例：今有两封信欲投入编号为I、II 、III的 3 个邮筒，设X，Y分别表示投入第I 号和 第 II号邮箱的信的数目，试求（1） （X，Y）的联合分布；（2）X与 Y是否独立；（3） 令 U=max (X,Y), V=min(X,Y)，求 E（U）和 E（ V） 解： 9 1 32 1 0, 0IIIpyxp两封信入 9 2 3 ,1 ,0 2 2 2 p IIIIIpp各一封 （1） y x 012 i p 0 9 1 9 2 9 1 9 4 1 9 2 9 2 0 9 4 2 9 1 00 9 1 j p 9 4 9 4 9 1 （2）有 0 不独立 （3） yxU,max 0, 0 0 1 , 1,1 , 0,0, 1 1 2 p 9 1 3 2 9 2 相减即可 minV0 1 ,2,2, 1,1 , 1 1 2 2 ,2 p9 7 相减得到 9 2 0 9 10 UE 9 2 VE 例：设)2(, 21 nXXX n 为独立同分布的随机变量，且均服从N（ 0， 1） 。
记 .,2, 1, 1 1 niXXYX n X ii n i i 求： （I）;,2, 1,niDYY ii的方差 （II ）).,( 11nn YYCovYY的协方差与 (III) .0 1n YYP 解：(I) n ij jiii x n x n DxxDyD 11 1 n n xD n xD n n ij ji 111 1 2 2 (II) nnn yEyEyyEyy 111, cov xxxxEyyE nn11 2 11 xxxxxxxE nn 2 11 2xExxExxE n 2 2 1 2 1 2 0 xExDxxxE n n j j nnn 112 (III) xxxxyy nn11 1 2 1 222 n i in x n x n n x n n 2 ,un 又0 1n yyE 2 1 ,0 Nyy n 2 1 0 1n yyp 例：设随机变量X 的概率密度为 1 , 10 2 1 ,02, 4 0, x x fxx 其它 2, ,YXF X Y令为二维 随机变量,X Y的分布函数 ,求: ( ) Y 的概率密度 Y fy ( ) cov,X Y ( ) 1 ,4 2 F 解： （I） 41 4 1 2 1 10 4 3 41 00 )()()( 2 yy yy y y yXPyYPyFY 其他0 41 8 1 10 8 3 )()(y y y y yFyf YY （II） 3 2 )()()()()()(),cov( 23 XEXEXEYEXEXYEYX （III ） 4 1 ) 2 1 1()4, 2 1 ()4, 2 1 ()4, 2 1 ( 2 XPXXPYXPF 5、应用题 例：市场上对商品需求量为XU（2000，4000） ，每售出1 吨可得 3 万元，若售不出而 囤积在仓库中则每吨需保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益最大？ 解：设货源量a，收益y，需求量x axxax axa xgy 3 3 其他0 4000,2000 2000 1 x xf a a dxadxaxdxxfxgyE 2000 4000 2000 1 3 2000 1 4 62 1047000 1000 1 aa 070002aayE 3500a 02ayE 3500a时，yE取到最大。
例：设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（ ，1） ，内径小于 10 或大于12 为不合格品，其余为合格品销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损 已知销售利润T（单元：元）与销售零件的内径X有如下关系 12,5 1210,20 10, 1 X X X T 若 若 若 问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 解： 125121020101xpxpxpET uuu101220101 u1215 510211225uu 1102111225uuETu 2 12 2 10 22 2 1 25 2 1 21 uu ee 令0 uET 21 25 ln 2 1 11 0 u 又0/ 00 uuET， 21 25 ln 2 1 11u时，平均利润最大 6、最大似然估计 例：设随机变量X的分布函数为 ， ， x x x xF 0 ,1 ),( 其中参数1,0 . 设 n XXX, 21 为来自总体X的简单随机样本， () 当1时 , 求未知参数的矩估计量； () 当1时 , 求未知参数的最大似然估计量； () 当2时, 求未知参数的最大似然估计量 解： （I）当1， 10 1 , 1 x x xf 1 , 1 1 dx x xdxxfxEu 令 ux ， 1 ? x x （II） 其他0 1 , 1 1 1 i n n n i i x xx xfL n i i xnL 1 ln1lnln 令 n i i n i i x n x n d Ld 1 1 ln ? 0ln ln （III ）当2， x x x xf , 0 , 2 , 3 2 0 2 , 3 1 2 1 其他 i n n n n i i x xx xfL 0 2lnn d Ld 增函数， n xx1m i n ? 最大 例：设总体X的概率密度为 其他,0 21 ,1 10, ),(x x xf， 其中是未知参数 （01） 。
n XXX, 21 为来自总体的简单随机样本，记 N 为样本值 n xxx, 21 中小于 1 的个数 求的矩估计和最大似然估计 解： 2 3 ),()(dxxxfXEX X 2 3 ? 矩 似然函数 NnN i n i xf)1(),( 1 )1(ln(NnN NnN n N 最 大 似 然 。