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1、凸函数的几个定义及关系 摘 要：凸函数是一重要的概念，它在许多学科里有重要的应用，在研究生入学试题中，也时有涉及。本文主要是概述凸函数的几种不同的定义及它们的关系。 关键词：凸函数;严格凸函数;等价 1.凸函数几种不同的定义 定义111（凸函数）设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数（0，1），总有 fx1+1-x2fx1+1-fx2（11） 则称f为I上的凸函数。 如果（11）中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数1。 现代数学多数采用这种定义，除此之外，还有其他形式的定义。 定义112 fx在区间I上有定义，fx称为I上的凸函数，当且仅当：x1，x2
2、I，有 fx1+x22fx1+fx22（12） 如果（12）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数2。 定义113 fx在区间I上有定义，fx称为是凸函数，当且仅当x1，x2，xnI有 fx1+x2+xnnfx1+fx2+fxnn（13） 如果（13）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数的定义2。 定义114 fx在区间I上有定义，当且仅当曲线y=fx的切线恒保持在曲线以下，则称fx为凸函数。若除切点之外，切线严格保持在去线的下方，则称fx为严格凸函数3。 2.几个定义的关系 定理211 定义112与定义113等价 证明 1定义112定义113 这里采用反向归纳法，其要点是：（1）证明命题对
3、于自然数的某个子序列成立;（2）证明命题当n=k+1成立时，必对n=k也成立。 1由式（12）知式（13）当n=2时成立，现证n=4时式（13）成立 事实上，x1，x2，x3，x4I，由式（12），我们有 fx1+x2+x3+x44=x1+x22+x3+x422 fx1+x22+fx3+x422 fx1+fx2+fx3+fx44 此即式（13）对n=4成立，一般来说，对任一自然数k，重复上面方法，应用（12）式k次，可知 fx1+x2+x2k2kfx1+fx2+fx2k2k 这说明式（13）对一切n=2k皆成立。 2证明式（13）对n=k+1成立时，必对n=k也成立记 A=x1+x2+xkk，
4、则x1+x2+xk=kA，所以 A=x1+x2+xk+Ak+1 由式（13）对n=k+1成立，故 fA=fx1+x2+xk+Ak+1 fx1+fx2+fxk+fAk+1 不等式两边同乘以k+1，减去fA，最后除以k，我们可以得到 fx1+x2+xkkfx1+fx2+fxkk 此式表示（13）对n=k成立。 1定义113定义112 显然 定理212 若fx连续，则定义111、112、113等价 证明1（定义111定义112、113）在定义1中令=12，则由式（11）得 fx1+x22=fx1+（1-）x2 fx1+1-fx2 =fx1+fx22x1，x2I 此式表明（12）式成立，所以定义111
5、蕴涵定义112，而定义112、113等价，故定义111也蕴涵定义113 2（定义112、113定义111）设x1，x2I为任意两点，为了证明式（11）对于任意实数0，1成立，我们先来证明：式（11）当为有理数时则=mn0，1，（mn为自然数）时成立，则： fx1+1-x2=fmnx1+1-mnx2 =fmx1+n-mx2n =fx1+x1+x1mn+x2+x2+x2n-mn、 f（x1）+fx1+fx1mn+fx2+fx2+fx2n-mn =mfx1+n-mfx2n =fx1+1-fx2 为有理数的情况获证。 若0，1为无理数，则存在有理数n0，1，n=1，2，使得n（当n时） 从而由fx的连
6、续性 fx1+1-x2=flimnnx1+1-nx2 =limnfnx1+1-nfx2 对于有理数n0，1，n=1，2，上面已证明有 fnx1+1-nx2nfx1+1-nfx2 此式中令n取极限，联系上式，有 fx1+1-x2fx1+1-fx2 即式（11）对任意无理数也成立0，1也成立。 这就证明了定义112、113蕴涵定义111。 注 上述证明里可以看到从定义111定义112、113无需连续性，定义112、113定义111才需要连续性，可见定义111强于定义112、113。 定理123 若fx处处可导，则定义111，定义112，定义113，定义114等价。（作者单位：西安汽车科技职业学院） 参考文献： 1 华东师范大学数学系编，数学分析（上）M.北京：高等教育出版社.2001.148149. 2 裴礼文编，数学分析中的经典问题与方法M.北京：高等教育出版社.2006.269270. 3 企方勤编，数学分析（上）M.北京：高等教育出版社.1986.132133. 4 程士宏编.高等概率M北京：北京大学出版社.1996.第 5 页 共 5 页
