解析两种形式的分部积分公式及其应用 摘要：通过对两种形式的分部积分公式的分析，使得解决求原函数问题中的积分过程更加简单和清晰，对学习者有所帮助关键词：被积函数；导数；分部积分；应用 分部积分法是求积分运算的最基本最常用的方法之一积分运算是求导的逆运算，但积分运算比导数运算困难得多因为导数的定义是构造性的，如果一个函数存在导数，根据导数的定义、法则或公式，总能求出函数的导数但是求积分则不然根据积分的运算法则和公式只能求出很少一部分比较简单的函数的积分，而对于更多的函数的积分问题要根据其形式和类型选用不同的方法，并且伴有某种技巧性分部积分法就是其中一个重要的积分运算方法，虽然已有些文章对此作了探讨，但对被积函数诸形式的讨论不够全面或对公式的解析缺乏深入本文将从另一角度更系统地对分部积分的两种形式及其应用作进一步探索1 分部积分法概述：分部积分公式1：设u与v是x的可导函数，由函数的乘积的导数公式，有 或 由不定积分的运算法则及定义，有 即： 此公式对于被积函数是积的形式的积分运算可简单地这样理解：把被积函数中的一部分因式“移”到d的后面作为公式中的v（事实上，这个“移”的过程是一个积分运算），而另一部分留在前面作为u，便成udv的形式。
为了清晰地认识和掌握分部积分法，类似地，由函数的商的求导法则可得另一个形式的分部积分公式：分部积分公式2：设u与v是可导函数，且由函数的商的导数公式，有 或 由不定积分的运算法则及定义，有 即 此公式对于被积函数是商的形式的积分运算可简单地理解为：把被积函数中有的分母的部分 “移”到d的后面作为公式中的，而另一部分留在前面作为u，便成的形式2 分部积分法的一般运用2.1 被积函数是“单因式”形式被积函数是“单因式”形式时，自然地把被积函数整个看成u，把dx看成dv直接利用公式去求积分例1 计算：解：令，于是，原式=故=2.2 被积函数是“双因式”的形式被积函数是“双因式”的形式，需把其中一个因式看成u而另一个因式“移”到d的后面作为v（事实上，这个“移”的过程是一个积分运算）有些被积函数只能唯一地“移”其中一个因式，如而有些被积函数可把其中任何一个因式看成u而另一个因式“移”到d的后面作为v，均能达到积分目的例2 计算：解法一：把“移”到d的后面，原式= 于是，=解法二：把sinx“移”到d的后面，原式=于是，=上题中，两种解法均连续两次使用分部积分法，解法一中两次均选作为，即“移”到d后面的都是，解法二中一次选sinx、一次选cosx作为。
因此，每次选作的为同一类函数，否则，将会出现恒等式：，使积分无法进行2.3 被积函数是“重因式”的形式该形式一般需把被积函数作分解，只要分出一个具有或形式的因式，就可用分部积分公式例3 证明：若则证：因故有 例4 计算：，（其中n是正整数）解：==得到递推公式：但有些该形式的被积函数，则需按上述2.1型处理如，逐次利用分部积分法，有：2.4 被积函数是“多因式”的形式被积函数是“多因式”的形式时，需选择其中一个因式（或几个因式之积）“移”到d的后面作为v，而其余因式之积（或一个因式）视为u例5 计算：解：=2.5 被积函数是商的形式：该形式的函数运用把有分母某一整体作为，其余部分作为u，把“移”到d的后面例6 计算：解：==例7、计算：解：=3 分部积分法需注意的问题分部积分公式看似简单，但在运用的过程中，对于较复杂的积分，往往要多次采用分部积分法层层迭代，步骤繁琐且容易出错分部积分公式关键是把被积表达式写成udv的形式，这就需要在解题过程中，恰当地把被积函数分成两部分：一个视为u，另一个视为原则上，求导容易部分为u，积分容易部分定为，即通过积分便得v事实上，可以统一地认为，分部积分法主要用于被积函数是两种不同类型函数的乘积形式或某一函数的幂的形式的不定积分运算，是通过转化，把一种形式的不定积分运算化为另一种形式去进行，该形式的积分运算较简单时，则起到化繁为简的作用 参考文献： [1]刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 第5版. 北京：高等教育出版社，2008.8 [2]施光燕.高等数学讲稿[M]. 大连：大连理工大学出版社，2005. [3]赵彬.分部积分法的推广[J].山西煤炭管理干部学院学报， 2004.356―57页作者简介：黄永（1966― ），女，云南彝良人，副教授，主要从事数学教育研究。
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