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1、专题强本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享化练5空间中的平行关系一、选择题 1.(2020河北衡水中学高三下月考,)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面,则“lm”是“l”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2020山西大同第一中学高三下月考,)设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则的一个充分条件是()A.m,n,mnB.m,n,mnC.m,n,mnD.m,n,mn3.(2020广东惠州高三上期末,)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=
2、n,则m、n所成角的正弦值为()A.-12B.12C.33D.324.(2020云南曲靖高三上期末,)在四面体A-BCD中,AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4,用平行于AB,CD的平面截此四面体,得到截面EFGH,则截面EFGH面积的最大值为()A.43B.94C.92D.3二、填空题5.(2020陕西西安西北工业大学附属中学高三下月考,)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是a,S是A1B1的中点,P是A1D1的中点,点Q在正方形DCC1D1及其内部运动,若PQ平面SBC1,则点Q的轨迹的长度是.6.(2020四川内江高二上期末,)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1
3、中,E是棱CC1上的一个动点,若平面BED1交棱AA1于点F,给出下列命题:四棱锥B1-BED1F的体积为定值;对于棱CC1上任意一点E,在棱AD上均有相应的点G,使得CG平面EBD1;O为底面ABCD的对角线AC和BD的交点,在棱DD1上存在点H,使OH平面EBD1;存在唯一的点E,使得四边形BED1F的周长取得最小值.其中为真命题的是.(填序号)三、解答题7.(2020广东广州白云高三下月考,)如图,在三棱锥B-ACD中,BD平面ACD,且BD=1,BC=AD=2,CD=3,ADC=30,E、F分别为ABD,CBD的重心.(1)求证:AC平面BEF;(2)求四面体B-DEF的体积.8.(2
4、020山东滕州第一中学高一线上测试,)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,M是线段B1D1上的一个动点,E,F 分别是 BC, CM 的中点.(1)求证:EF平面 BDD1B1;(2)在棱 CD 上是否存在一点 G,使得平面 GEF平面 BDD1B1?若存在,求出CGGD的值;若不存在,请说明理由.9.(2020辽宁抚顺六校协作体高二上期末,)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和侧棱长都为2,D是AC的中点,在线段A1C1上是否存在一点E,使得平面EB1C平面A1BD?若存在,请指出点E在线段A1C1上的位置;若不存在,请说明理由.10.(2019安徽滁州部分高中高一下期末
5、,)如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F,G分别为线段BC,PB,AD的中点.(1)证明:EF平面PAC;(2)证明:平面PCG平面AEF;(3)在线段BD上找一点H,使得FH平面PCG,并说明理由.答案全解全析一、选择题1.B若lm,m,则l或l;若l,m,则lm.“lm”是“l”的必要而不充分条件,故选B.2.D对于选项A、B,若n,则,故A、B不符合;对于选项C,若=l,mnl,m,n为,外的直线,显然有m,n,故C不符合;对于选项D,若m,mn,则n,又n,所以,故D符合.3.D如图,延长B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延长D1A1至A3,使A3A1=D1A1,连接AA2,A
6、A3,A2A3,A1B,A1D.易证AA2A1BD1C,AA3A1DB1C.平面AA2A3平面CB1D1,即平面AA2A3为平面.易得mA2A3,直线AA2即为直线n,所以m、n所成的角即为AA2、A2A3所成的角.显然有AA2=AA3=A2A3,所以m、n所成的角为60,其正弦值为32.故选D.4.B设截面分别与棱AD、BD、BC、AC交于点E、F、G、H,由直线AB平面EFGH,且平面ABC平面EFGH=GH,平面ABD平面EFGH=EF,得GHAB,EFAB,GHEF,同理可得EHFG,四边形EFGH为平行四边形.AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4,ACDBCD,过点A作AMCD
7、于M,连接BM,则BMCD,AMBM=M,CD平面ABM,又AB平面ABM,CDAB,EFFG,四边形EFGH为矩形.设BFBD=BGBC=FGCD=x,0x1,则FG=3x,HG=3(1-x),于是S矩形EFGH=FGHG=9x(1-x)=-9x-122+94,0x1,当x=12时,四边形EFGH的面积取得最大值94.故选B.二、填空题5.答案52a解析如图所示,在线段D1C1上取点M,使得D1M=14D1C1,连接PM;在线段CD上取点N,使得CN=14CD,连接MN.设H为D1C1的中点,连接A1H,SH,CH,PN,则有PMA1H,A1HSC1,PMSC1,PM平面SC1B,SC1平面
8、SC1B,PM平面SC1B,易得SBCH,CHMN,MNSB,同理可得MN平面SC1B,PMMN=M,PM,PN平面PMN,平面SC1B平面PMN,又平面PMN平面DCC1D1=MN,当点Q在线段MN上时,有PQ平面SBC1,点Q的轨迹为线段MN.MN=CH=a2+a22=52a,点Q的轨迹的长度是52a.6.答案解析VB1-BED1F=VB1-BED1+VB1-BFD1=2VB1-BED1.又三棱锥B1-BED1的体积等于三棱锥D1-BB1E的体积,底面B1BE的面积不变,高D1C1不变,三棱锥D1-BB1E的体积不变,四棱锥B1-BED1F的体积不变,为定值,故正确;当点E在点C处时,CG
9、与平面EBD1相交,故错误;由O为底面ABCD对角线AC和BD的交点,得DO=12DB,设H为DD1的中点,则在D1DB中,OHD1B,又OH平面EBD1,D1B平面EBD1,OH平面EBD1,故正确;四边形BED1F的周长为2(BE+ED1),则分析BE+ED1即可,将侧面BCC1B1沿着棱CC1展开,使得B在DC延长线上,此时B的位置设为P,则线段D1P与CC1的交点即为四边形BED1F的周长取得最小值时的唯一点E,故正确.故答案为.三、解答题7.解析(1)证明:如图,延长BE、BF分别与AD、CD交于点G、H,连接GH.E、F分别为ABD,CBD的重心,G、H分别为DA,DC的中点,GH
10、AC,又GH平面BEF,AC平面BEF,AC平面BEF.(2)ACD中,根据余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC=4+3-6=1,AC=1(负值舍去),AD2=AC2+CD2,CDAC.BD平面ACD,AC平面ACD,BDAC,又CDBD=D,AC平面BDC.易知EFGHAC,EF平面BDC.EF=23GH=13AC=13,SBDF=23SBDH=2334=36,VB-DEF=13SBDFEF=354.8.解析(1)证明:连接BM.E,F分别是BC,CM的中点,EFBM,又EF平面BDD1B1,BM平面BDD1B1,EF平面BDD1B1.(2)棱CD上存在一点G,使得平面G
11、EF平面BDD1B1,理由如下:假设在棱CD上存在一点G,使得平面GEF平面BDD1B1.平面GEF平面ABCD=EG,平面BDD1B1平面ABCD=BD,EGBD,又E是BC的中点,G是DC的中点,此时易证得平面GEF平面BDD1B1,棱CD上存在一点G,使得平面GEF平面BDD1B1,且CGGD=1.9.解析存在.理由如下:假设存在点E,使得平面EB1C平面A1BD.平面AA1C1C平面A1BD=A1D,平面AA1C1C平面EB1C=EC,A1DEC,由A1C1AC得A1ECD,四边形A1DCE是平行四边形,A1E=CD,D是AC的中点,AC=A1C1,E是A1C1的中点,此时平面EB1C
12、平面A1BD.当E是A1C1的中点时,平面EB1C平面A1BD.10.解析(1)证明:E,F分别是BC,BP的中点,EFPC.PC平面PAC,EF平面PAC,EF平面PAC.(2)证明:E,G分别是BC,AD的中点,ADBC,AGCE,四边形AECG为平行四边形,AECG.AE平面PCG,CG平面PCG,AE平面PCG.EFPC,PC平面PCG,EF平面PCG,EF平面PCG.AEEF=E,AE平面AEF,EF平面AEF,平面AEF平面PCG.(3)如图,设GC,AE与BD分别交于M,N两点,连接PM,FN,易知F,N分别是BP,BM的中点,FNPM,且FN=12PM.PM平面PGC,FN平面PGC,FN平面PGC,点N即为所找的H点.
