《2022新高考必备2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 圆锥曲线大题（精解精析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022新高考必备2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 圆锥曲线大题（精解精析）（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 圆锥曲线大题（精解精析）1(2021年高考全国甲卷理科)抛物线C的顶点为坐标原点O焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且已知点，且与l相切(1)求C，的方程；(2)设是C上的三个点，直线，均与相切判断直线与的位置关系，并说明理由【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析解析：（1）依题意设抛物线，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；（2）设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的
2、直线为，又，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示2(2021年高考全国乙卷理科)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为(1)求；(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值【答案】（1）；（2）解析：（
3、1）抛物线的焦点为，所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，设点、，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，所以，点到直线的距离为，所以，由已知可得，所以，当时，的面积取最大值【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值3(2020年高考数学
4、课标卷理科)已知A、B分别为椭圆E：(a1)左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D(1)求E方程；(2)证明：直线CD过定点【答案】（1）；（2）证明详见解析【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：， ，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为同理可得：点的坐标为直线的方程为：，整理可得：整理得：故直线过定点【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题4(2020年高考数学课标卷理
5、科)已知椭圆C1：(ab0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程【答案】（1）；（2），解析：（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，联立，解得，则，抛物线的方程为，联立，解得，即，即，即，解得，因此，椭圆的离心率为；（2）由（1）知，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或（舍去），由抛物线的定义可得，解得因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为【点睛】本题考查椭圆离心率求解，同时也考查了利
6、用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题5(2020年高考数学课标卷理科)已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点(1)求的方程；(2)若点在上，点在直线上，且，求的面积【答案】（1）；（2）解析：（1），根据离心率，解得或(舍)，的方程为：，即；（2）不妨设,在x轴上方点在上，点在直线上，且，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为根据题意画出图形，如图，又，根据三角形全等条件“”，可得：，设点为，可得点纵坐标为，将其代入，可得：，解得：或，点为或，当点为时，故，可得：点为，画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公
7、式可得：，面积为：；当点为时，故，可得：点为，画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：，综上所述，面积为：【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题6(2019年高考数学课标卷理科)已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B(1)证明：直线AB过定点：(2)若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积【答案】 (1)见详解；(2)3或【官
8、方解析】(1)设则由于，所以切线的斜率为，故整理得设同理可得故直线的方程为所以直线过定点(2)由(1)得直线的方程为由可得于是，设分别为到直线的距离，则因此，四边形的面积设线段的中点，则由于，而，与向量平行，所以解得或当时，；当时，因此，四边形的面积为3或【点评】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以思路较为清晰，但计算量比较大7(2019年高考数学课标全国卷理科)已知点，动点满足直线与的斜率之积为记的轨迹为曲线求的方程，并说明是什么曲线；过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点证明：是直角三角形；求面积的最大值【答
9、案】详见解析详见解析【官方解析】由题设得，化简得，所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点设直线的斜率为，则其方程为由得记，则于是直线的斜率为，方程为由，得设，则和是方程的解，故，由此得从而直线的斜率为所以，即是直角三角形由得，所以的面积设，则由得，当且仅当时取等号因为在单调递减，所以当，即时，取得最大值，最大值为因此，面积的最大值为【分析】分别求出直线与的斜率，由已知直线与的斜率之积为，可以得到等式，化简可以求出曲线的方程，注意直线与有斜率的条件；设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直
10、线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形；由可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值.【解析】直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点在第一象限，所以，因此点的坐标为直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，消去得，（*），设点，显然点的横坐标和是方程（*）的解所以有，代入直线方程中，得，所以点的坐标为，直线的斜率为；，因为，所以，因此是直角三角形；由可知：，的坐标为，,，因为，所以当时，函数单调递增，当
11、时，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，最大值为.【点评】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.8(2019年高考数学课标全国卷理科)已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为(1)若，求的方程；(2)若，求【答案】解：设直线（1）由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故9(2018年高考数学课标卷（理）)已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为()(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且，证明：
12、，成等差数列，并求该数列的公差【答案】【官方解析】（1）设，则有，两式相减，并由，得由题设知，于是由题设，故（2）由题意得，设，则由（1）及题设得，又点在上，所以，从而，于是同理所以故，即成等差数列设该数列的公差为，则将代入得所以的方程为，代入的方程，并整理得故，代入解得所以该数列的公差为或【民间解析】（1）法一：设直线，交点，则有，联立方程，消去并整理可得所以所以，代入可得所以，所以，所以或又即由可知法二：设，则有，两式相减可得所以依题意，所以又点在椭圆内，所以，而，所以所以（2）由椭圆的方程可知，设因为，所以，所以所以，故又因为点在椭圆上，所以，解得，所以此时直线的方程为：即联立方程，消去
13、并整理可得所以，又，所以所以同理所以而所以，故，成等差数列设公差为，则有所以10(2018年高考数学课标卷（理）)(12分)设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，(1)求的方程；(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程【答案】解析：（1）由题意得，的方程为设，由得，故，所以，由题设知，解得（舍去），因此直线的方程为（2）由（1）得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为，则，解得或，因此所求圆的方程为或11(2018年高考数学课标卷（理）)(12分)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为(1)当与轴垂直时，求直线的方程；(2)设为坐标原点，证明：【答案】解析：（1）由已知得，的方程为由已知可得，点的坐标为或所以的方程为或（2）当与轴重合时，当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，则，直线MA，MB的斜率之和为由得将代入得所以则从而，故的倾斜角互补，所以综上，12(2017年高考数学新课标卷理科)已知椭圆,四点,中恰有三点在椭圆上(1)求的方程;(2)设直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点【答案】(1);(2) 【分析】(1)根据两点关于轴对称,由椭圆的对称性可知经过,另外知,不经过点,所以在上,因此在椭圆上,代入其标
