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1、函数与方程考试要求结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点提醒：函数的零点不是函数yf(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数2函数的零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得
2、f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根提醒：函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点3二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc (a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2104二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法有关函数零点的三个结论(1)若yf(x)在闭区间a，b上的图象连续不断，且有f(a)f(b)0，则函数yf(x)一
3、定有零点(2)f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件(3)若函数f(x)在a，b上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)f(b)0函数f(x)在区间a，b上只有一个零点一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()(4)二次函数yax2bxc在b24ac0时没有零点()(5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点
4、的近似值()答案(1)(2)(3)(4)(5)二、教材习题衍生1(多选)若函数yf(x)在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法中不正确的是()A若f(a)f(b)0，则不存在实数c(a，b)，使得f(c)0B若f(a)f(b)0，则存在且只存在一个实数c(a，b)，使得f(c)0C若f(a)f(b)0，则有可能存在实数c(a，b)，使得f(c)0D若f(a)f(b)0，则有可能不存在实数c(a，b)，使得f(c)0ABD对函数f(x)x2，f(1)f(1)0，但f(0)0，故A错；对于函数f(x)x3x，f(2)f(2)0，但f(0)f(1)f(1)0，故B错；函数f(x)x2满
5、足C，故C正确；由零点存在性定理知D错2函数f(x)ln x2x6的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)C由题意得f(1)ln 12640，f(2)ln 246ln 220，f(3)ln 366ln 30，f(4)ln 486ln 420，f(x)的零点所在的区间为(2,3)3函数f(x)ex3x的零点个数是_1函数f(x)ex3x在R上是增函数，且f(1)30，f(0)10，f(1)f(0)0，因此函数f(x)有唯一零点4若函数f(x)x24xa存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是_(，4)由题意知164a0，解得a4. 考点一判定函数零点所在区间 判断函
6、数零点所在区间的方法1(多选)已知函数f(x)xlogx.若0abc，则f(a)f(b)f(c)0，那么下列说法一定正确的是()Af(x)有且只有一个零点Bf(x)的零点在(0,1)内Cf(x)的零点在(a，b)内Df(x)的零点在(c，)内AB因为yx，ylogx均为(0，)上的增函数，所以f(x)为(0，)上的增函数因为f(1)0，f 0，所以由零点存在性定理可知f(x)有且只有一个零点且零点在内，故A、B正确因为f(a)f(b)f(c)0，所以f(a)，f(b)，f(c)的符号为两正一负或全负，而0abc，故f(a)0，f(b)0，f(c)0或f(a)0，f(b)0，f(c)0.若f(a
7、)0，f(b)0，f(c)0，则零点在(c，)内；若f(a)0，f(b)0，f(c)0，则零点在(a，b)内故C、D不一定正确2若x0是方程xx的解，则x0属于区间()A.BC.DC令f(x)xx，则x0是函数f(x)的零点，函数f(x)在R上图象是连续的，且f(0)10，f 0，f 0，f f 0，因此x0，故选C.3若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内Aabc，f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(
8、cb)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.4(2020天津模拟)设函数f(x)ex14x4，g(x)ln x，若f(x1)g(x2)0，则()A0g(x1)f(x2)Bg(x1)0f(x2)Cf(x2)0g(x1)Df(x2)g(x1)0B函数f(x)是R上的增函数，g(x)是(0，)上的增函数，f(0)e140，f(1)5410，又f(x1)0，0x11，g(1)10，g(2)ln 20，又g(x2)0，1x22，f(x2)f(1)0，g(
9、x1)g(1)0，g(x1)0f(x2)，故选B.点评：由f(a)f(b)0，并不能说明函数f(x)在区间(a，b)上没有零点，若f(x)在(a，b)上是单调函数，则f(x)在(a，b)上无零点 考点二确定函数零点的个数 确定函数零点个数的方法典例1(1)(2019全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x在0,2的零点个数为()A2B3C4D5(2)函数f(x)的零点个数为()A0B1 C2D3(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)exx3，则f(x)的零点个数为()A1B2 C3D4(1)B(2)D(3)C(1)由f(x)2sin xsin 2x2sin x2sin
10、 xcos x2sin x(1cos x)0得sin x0或cos x1，xk，kZ，又x0,2，x0，2，即零点有3个，故选B.(2)依题意，在考虑x0时可以画出函数yln x与yx22x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x0时，函数f(x)2x1与x轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个零点故选D.(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，即x0是函数f(x)的1个零点当x0时，令f(x)exx30，则exx3，分别画出函数yex和yx3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)有1个零点根据对称性知，当x0时，函数f(x)也有1个零点综上所
11、述，f(x)的零点个数为3.点评：数形结合法确定函数零点个数的关键是正确画出函数的图象在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制1函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2 C3D4B令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.设g(x)|log0.5x|，h(x)x.在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点故选B.2若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点的个数是(
12、)A0B2 C4D6C画出函数yf(x)和ylog3|x|的部分图象如图所示由图知，函数yf(x)log3|x|的零点的个数为4. 考点三求与零点有关的参数问题 已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围的方法根据函数零点的个数求参数的取值范围典例21(多选)(2020辽宁丹东月考改编)若函数f(x)恰有两个零点，则实数a的取值可能为()A0BC2D3BCD法一：当a0时，f(x)当a时，f(x)当a2时，f(x)当a3时，f(x)通过画图很容易判断B，C，D成立，A不成立，故选BCD.法二：设h(x)2xa(x1)，g(x)4(xa)(x2a)(x1)，若h(x)的图象与x轴有一个交点
13、，则a0，且2a0，所以0a2.根据题意知，此时函数g(x)的图象与x轴只有一个交点，所以得a1.若函数h(x)的图象与x轴没有交点，则函数g(x)的图象与x轴有两个交点，当a0时，h(x)的图象与x轴无交点，g(x)的图象与x轴无交点，所以不满足题意当2a0，即a2时，h(x)的图象与x轴无交点，g(x)的图象与x轴有两个交点，满足题意综上所述，a的取值范围是2，)，故选BCD.点评：已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题根据函数有零点求参数的取值范围典例22(1)函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，)B2，) CD(2)已知函数f(x)则函数F(x)f(x)a2a1(aR)总有零点时，实数a的取值范围是()A(，0)(1，)B
