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1、利用导数解决函数的单调性问题考试要求1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)函数的单调性与导数的关系条件结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)内单调递增f(x)0f(x)在(a，b)内单调递减f(x)0f(x)在(a，b)内是常数函数提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则1在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件2可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都
2、有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)在(a，b)内f(x)0，且f(x)0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数()(2)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上一定单调递减()(3)已知函数f(x)在区间a，b上单调递增，则f(x)0恒成立()答案(1)(2)(3)二、教材习题衍生1.如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(3,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D在区间(3,
3、5)上f(x)是增函数C由图象可知，当x(4,5)时，f(x)0，故f(x)在(4,5)上是增函数2函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A先增后减B先减后增C增函数D减函数D因为f(x)sin x10在(0，)上恒成立，所以f(x)在(0，)上是减函数，故选D.3函数f(x)xln x的单调递减区间为_(0,1函数f(x)的定义域为x|x0，由f(x)10，得0x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,14已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则实数a的最大值是_3f(x)3x2a0，即a3x2，又因为x1， )，所以a3，即a的最大值是3. 考点一不含参数的函数的单调性 求
4、函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)(3)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递增区间(4)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递减区间1已知函数f(x)x22cos x，若f(x)是f(x)的导函数，则函数f(x)的图象大致是()ABCDA设g(x)f(x)2x2sin x，则g(x)22cos x0.所以函数f(x)在R上单调递增，故选A.2(2020河北九校联考)函数yx2ln x的单调递减区间是()A(3,1)B(0,1) C(1,3)D(0,3)By1(x0)，令y0得，解得0x1，故选B.3(2019天津高考改编)函数f(x)excos x的单调递增区间
5、为_(kZ)f(x)excos xexsin xex(cos xsin x)，令f(x)0得cos xsin x，2kx2k，kZ，即函数f(x)的单调递增区间为(kZ)点评：(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升与下降(2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错 考点二含参数的函数的单调性 解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间
6、断点典例1已知函数f(x)ex(exa)a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，则f(x)e2x在(，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增(2)若a0，则f(x)e2x，所以f(x)0.若a0，则由(1)得，当xln a时，
7、f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a2ln a，从而当且仅当a2ln a0，即0a1时，f(x)0.若a0，则由(1)得，当xln时，f(x)取得最小值，最小值为f a2，从而当且仅当a20，即2ea0时，f(x)0.综上，a的取值范围是2e，1点评：要使f(x)0，只需f(x)min0；要使f(x)0，只需f(x)max0.已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.若a0，试讨论函数f(x)的单调性解因为f(x)ln xax2(2a1)x，所以f(x)，由题意知函数f(x)的定义域为(0，)，令f(x)0得x1或x，(1)若1，即a，由f(x)0得x1或0x，由f(x)0得x1，即
8、函数f(x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减；(2)若1，即0a，由f(x)0得x或0x1，由f(x)0得1x，即函数f(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；(3)若1，即a，则在(0，)上恒有f(x)0，即函数f(x)在(0，)上单调递增综上可得：当0a时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增 考点三已知函数的单调性求参数的取值范围 由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)
9、恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“”是否可以取到(2)可导函数在区间D上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，即f(x)max0(或f(x)min0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围(3)若已知f(x)在区间D上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令D是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围典例2已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(
10、x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax20有解，即a有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1且a0，即a的取值范围是(1,0)(0，)(2)由h(x)在1,4上单调递减得，当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a且a0，即a的取值范围是(0，)母题变迁1本例条件不变，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解h(x)在1,4上存
11、在单调递减区间，则h(x)0在1,4上有解，所以当x1,4时，a有解，又当x1,4时，min1，所以a1且a0，即a的取值范围是(1,0)(0，)2本例条件不变，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上不单调，求a的取值范围解因为h(x)在1,4上不单调，所以h(x)0在(1,4)上有解，即a有解，令m(x)，x(1,4)，则1m(x)，所以实数a的取值范围为.点评：注意区分在区间a，b上单调递增(减)和在区间a，b上存在单调递增(减)区间这两种说法，一个转化为不等式恒成立，一个转化为不等式有解已知函数f(x)ln x，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)的图象在x1处相切，求g(x)；
12、(2)若(x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解(1)由已知得f(x)，所以f(1)1a，所以a2.又因为g(1)abf(1)0，所以b1.所以g(x)x1.(2)因为(x)f(x)ln x在1，)上是减函数所以(x)0在1，)上恒成立，即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)，因为x2，当且仅当x1时取等号，所以2m22，即m2.故实数m的取值范围是(，2 考点四函数单调性的应用 构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f(x)与f(x)，常需要通过构造含f(x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果常见构造的辅助函数形式有：(1)f(x)g(x)F(x)f(x)g(x)；(2)xf(x)f(x)xf(x)；(3)xf(x)f(x)；(4)f(x)f(x)exf(x)；(5)f(x)f(x).比较大小典例31(1)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，若a，b，c，则a，b，c的大小关系正确的是()AabcBbcaCacbDcab(2)已知函数yf(x)对于任意的x满足f(x)cos xf(x)sin x1ln x，其中f(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A.f
