第3章 第2节 利用导数解决函数的单调性问题

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1、利用导数解决函数的单调性问题考试要求1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)函数的单调性与导数的关系条件结论函数yf(x)在区间(a,b)上可导f(x)0f(x)在(a,b)内单调递增f(x)0f(x)在(a,b)内单调递减f(x)0f(x)在(a,b)内是常数函数提醒:讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则1在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件2可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a,b),都

2、有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零一、易错易误辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)在(a,b)内f(x)0,且f(x)0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数()(2)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0,则函数f(x)在定义域上一定单调递减()(3)已知函数f(x)在区间a,b上单调递增,则f(x)0恒成立()答案(1)(2)(3)二、教材习题衍生1.如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象,则下面判断正确的是()A在区间(3,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D在区间(3,

3、5)上f(x)是增函数C由图象可知,当x(4,5)时,f(x)0,故f(x)在(4,5)上是增函数2函数f(x)cos xx在(0,)上的单调性是()A先增后减B先减后增C增函数D减函数D因为f(x)sin x10在(0,)上恒成立,所以f(x)在(0,)上是减函数,故选D.3函数f(x)xln x的单调递减区间为_(0,1函数f(x)的定义域为x|x0,由f(x)10,得0x1,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,14已知f(x)x3ax在1,)上是增函数,则实数a的最大值是_3f(x)3x2a0,即a3x2,又因为x1, ),所以a3,即a的最大值是3. 考点一不含参数的函数的单调性 求

4、函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)(3)在定义域内解不等式f(x)0,得单调递增区间(4)在定义域内解不等式f(x)0,得单调递减区间1已知函数f(x)x22cos x,若f(x)是f(x)的导函数,则函数f(x)的图象大致是()ABCDA设g(x)f(x)2x2sin x,则g(x)22cos x0.所以函数f(x)在R上单调递增,故选A.2(2020河北九校联考)函数yx2ln x的单调递减区间是()A(3,1)B(0,1) C(1,3)D(0,3)By1(x0),令y0得,解得0x1,故选B.3(2019天津高考改编)函数f(x)excos x的单调递增区间

5、为_(kZ)f(x)excos xexsin xex(cos xsin x),令f(x)0得cos xsin x,2kx2k,kZ,即函数f(x)的单调递增区间为(kZ)点评:(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降,函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度,也可用来研究导函数图象的上升与下降(2)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易出错 考点二含参数的函数的单调性 解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间

6、断点典例1已知函数f(x)ex(exa)a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)0,求a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(,),f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0,则f(x)e2x在(,)上单调递增若a0,则由f(x)0得xln a.当x(,ln a)时,f(x)0;当x(ln a,)时,f(x)0.故f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增若a0,则由f(x)0得xln.当x时,f(x)0;当x时,f(x)0.故f(x)在上单调递减,在上单调递增(2)若a0,则f(x)e2x,所以f(x)0.若a0,则由(1)得,当xln a时,

7、f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)a2ln a,从而当且仅当a2ln a0,即0a1时,f(x)0.若a0,则由(1)得,当xln时,f(x)取得最小值,最小值为f a2,从而当且仅当a20,即2ea0时,f(x)0.综上,a的取值范围是2e,1点评:要使f(x)0,只需f(x)min0;要使f(x)0,只需f(x)max0.已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.若a0,试讨论函数f(x)的单调性解因为f(x)ln xax2(2a1)x,所以f(x),由题意知函数f(x)的定义域为(0,),令f(x)0得x1或x,(1)若1,即a,由f(x)0得x1或0x,由f(x)0得x1,即

8、函数f(x)在,(1,)上单调递增,在上单调递减;(2)若1,即0a,由f(x)0得x或0x1,由f(x)0得1x,即函数f(x)在(0,1),上单调递增,在上单调递减;(3)若1,即a,则在(0,)上恒有f(x)0,即函数f(x)在(0,)上单调递增综上可得:当0a时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;当a时,函数f(x)在(0,)上单调递增;当a时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,)上单调递增 考点三已知函数的单调性求参数的取值范围 由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D上单调,实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)

9、恒成立,从而构建不等式,求出参数的取值范围,要注意“”是否可以取到(2)可导函数在区间D上存在单调区间,实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集,即f(x)max0(或f(x)min0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围(3)若已知f(x)在区间D上的单调性,区间端点含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围典例2已知函数f(x)ln x,g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减,求a的取值范围解(1)h(

10、x)ln xax22x,x(0,),所以h(x)ax2,由于h(x)在(0,)上存在单调递减区间,所以当x(0,)时,ax20有解,即a有解设G(x),所以只要aG(x)min即可而G(x)21,所以G(x)min1.所以a1且a0,即a的取值范围是(1,0)(0,)(2)由h(x)在1,4上单调递减得,当x1,4时,h(x)ax20恒成立,即a恒成立所以aG(x)max,而G(x)21,因为x1,4,所以,所以G(x)max(此时x4),所以a且a0,即a的取值范围是(0,)母题变迁1本例条件不变,若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上存在单调递减区间,求a的取值范围解h(x)在1,4上存

11、在单调递减区间,则h(x)0在1,4上有解,所以当x1,4时,a有解,又当x1,4时,min1,所以a1且a0,即a的取值范围是(1,0)(0,)2本例条件不变,若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上不单调,求a的取值范围解因为h(x)在1,4上不单调,所以h(x)0在(1,4)上有解,即a有解,令m(x),x(1,4),则1m(x),所以实数a的取值范围为.点评:注意区分在区间a,b上单调递增(减)和在区间a,b上存在单调递增(减)区间这两种说法,一个转化为不等式恒成立,一个转化为不等式有解已知函数f(x)ln x,g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)的图象在x1处相切,求g(x);

12、(2)若(x)f(x)在1,)上是减函数,求实数m的取值范围解(1)由已知得f(x),所以f(1)1a,所以a2.又因为g(1)abf(1)0,所以b1.所以g(x)x1.(2)因为(x)f(x)ln x在1,)上是减函数所以(x)0在1,)上恒成立,即x2(2m2)x10在1,)上恒成立,则2m2x,x1,),因为x2,当且仅当x1时取等号,所以2m22,即m2.故实数m的取值范围是(,2 考点四函数单调性的应用 构造函数解不等式或比较大小一般地,在不等式中若同时含有f(x)与f(x),常需要通过构造含f(x)与另一函数的和、差、积、商的新函数,再借助导数探索新函数的性质,进而求出结果常见构造的辅助函数形式有:(1)f(x)g(x)F(x)f(x)g(x);(2)xf(x)f(x)xf(x);(3)xf(x)f(x);(4)f(x)f(x)exf(x);(5)f(x)f(x).比较大小典例31(1)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x),当x0时,xf(x)f(x)0,若a,b,c,则a,b,c的大小关系正确的是()AabcBbcaCacbDcab(2)已知函数yf(x)对于任意的x满足f(x)cos xf(x)sin x1ln x,其中f(x)是函数f(x)的导函数,则下列不等式成立的是()A.f

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