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1、古典概型与几何概型考试要求1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.4.了解几何概型的意义1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型的特点|3古典概型的概率计算公式P(A).4几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型5几何概型的两个基本特点|6几何概型的概率公式P(A).一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)随机模拟方法是以事
2、件发生的频率估计概率()(2)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是.()(3)概率为0的事件一定是不可能事件()(4)从市场上出售的标准为5005 g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为()AB CDD一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P.2某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是()AB C DC试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概
3、率为P.3袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()AB CDA从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P.4同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_掷两个骰子一次，向上的点数共6636(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P1. 考点一简单的古典概型 用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)解题的关键如下：定型，即根据古典概型的特点有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间及事
4、件A所含的基本事件数求值，代入公式P(A)求值典例1(1)甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.(2)(2021全国统一考试模拟演练)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为()A. B. C. D.(3)(2019全国卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该
5、重卦恰有3个阳爻的概率是()A. B. C. D.(1)D(2)C(3)A(1)用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P.(2)设依次编号为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(
6、2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为.(3)由6个爻组成的重卦种数为2664，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P.故选A.点评：求基本事件的个数时，应注意其顺序性1将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为()AB CDC将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好有3个小球有C种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为.故选C.2已知a0,1,2，b1
7、,1,3,5，则函数f(x)ax22bx在区间(1，)上为增函数的概率是()AB CDAa0,1,2，b1,1,3,5，基本事件总数n3412.函数f(x)ax22bx在区间(1，)上为增函数，当a0时，f(x)2bx，符合条件的只有(0，1)，即a0，b1；当a0时，需要满足1，符合条件的有(1，1)，(1,1)，(2，1)，(2,1)，共4种函数f(x)ax22bx在区间(1，)上为增函数的概率是P. 考点二古典概型与统计的综合 求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：典例2某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男
8、、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图(注：分组区间为60,70)，70,80)，80,90)，90,100)(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率解(1)由题可得，男生优秀人数为100(0.010.02)1030，女生优秀人数为100(0.0150.03)1045.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含的男生人数为302，女生人数为453.则从5人中任意选取2人共有C10种，抽取的
9、2人中没有一名男生有C3种，则至少有一名男生有CC7种故至少有一名男生的概率为P，即选取的2人中至少有一名男生的概率为.点评：有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键(2019天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受
10、情况(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受现从这6人中随机抽取2人接受采访员工项目ABCDEF子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人()试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；()设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6910，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人(2)()从已知的6人中随机抽取2人的所有可能
11、结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F，共15种()由表格知，符合题意的所有可能结果为A，B，A，D，A，E，A，F，B，D，B，E，B，F，C，E，C，F，D，F，E，F，共11种所以，事件M发生的概率P(M). 考点三几何概型 度量几何法就是利用所求事件A与基本事件空间的几何度量之比求解事件A发生的概率P(A)的方法解题的关键如下：定型，即根据几何概型的特点无限性与等可能性，确定所求概率模型为几何概型定类，根据事件中所选对象的个数或所在范围，确定所求事件的几何属性及其度量方式，确定类别长度、面积或体积等求
12、量，利用平面几何、立体几何等相关知识求出构成基本事件空间及事件A的区域长度(面积或体积)求值，代入公式P(A)求值与长度、角度有关的几何概型典例31在等腰RtABC中，直角顶点为C.(1)在斜边AB上任取一点M，求|AM|AC|的概率；(2)在ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|AC|的概率解(1)如图所示，在AB上取一点C，使|AC|AC|，连接CC.由题意，知|AB|AC|.由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.所以P(|AM|AC|).(2)由于在ACB内以C为端点任作射线CM，所以CM等可能分布
13、在ACB内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是ACB，所以P(|AM|AC|).点评：当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域的问题时，应以角度作为区域的度量来计算概率，切不可用线段的长度代替与面积有关的几何概型典例32(1)从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()AB CD(2)甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：007：20内某一时刻随机到达，乙在7：057：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是()A B C D(1)C(2)C(1)因为x1，x2，xn，y1，y2，yn都在区间0,1内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个用随机模拟的方法可得，即，所以.(2)建立平面直角坐标系如图，x，y分
