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1、概率、统计的综合题考试要求能从研究对象中获取数据，会用数学方法对数据进行整理、分析和推断，构建模型等 考点一概率与统计的综合应用 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题典例1从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)公司规定：
2、当Z95时，产品为正品；当Z95时，产品为次品公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望；(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)利用该正态分布，求P(87.8Z112.2)；某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 7，P(2Z2)0.954 5.解(1)由频
3、率估计概率，产品为正品的概率为(0.0330.0240.0080.002)100.67，所以随机变量的分布列为9030P0.670.33所以E()900.67(30)0.3350.4.(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为700.02800.09900.221000.331100.241200.081300.02100，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.22020.331020.242020.083020.02150.因为ZN(100,150)，从而P(87.8Z112.2)P(10012.2Z10012.2)0.682 7.由知
4、，一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的概率为0.6827，依题意知XB(500，0.682 7)，所以E(X)5000.682 7341.35.点评：本题以统计图表为载体，将正态分布、二项分布、频率分布直方图巧妙的融合在一起，体现了知识的整合性与交汇融合性，搞清这些统计图表的含义，掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算是解决问题的关键经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元根据以往资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该
5、农产品以X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110)，则取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求T的均值解(1)当X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000.当X130,150时，T50013065 000.所以T(2)由(1)知利润T不
6、少于57 000元当且仅当120X150.由直方图知需求量X120,150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以E(T)45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400. 考点二概率与统计案例的综合应用 概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特征、独立性检验等基础知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识典例2(2020西安五校
7、联考)为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立高新科技研发园区，并力邀某高校入驻该园区为了解教职工意愿，该高校在其所属的8个学院的教职工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数x1020304050607080愿意整体搬迁人数y817253139475566(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程x(保留小数点后两位有效数字)；若该校共有教职工2 500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数(2)若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院
8、长组成考察团赴研发园区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至研发园区的院长人数，求X的分布列及数学期望参考公式及数据：，xiyi16 310，x20 400.解(1)由已知得45，36，0.80，360.80450，故变量y关于变量x的线性回归方程为0.80x.所以当x2 500时，y2 5000.802 000，所以该校愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数约为2 000.(2)由题意可知X的可能取值为1,2,3,4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列为X1234P故E(X)1234.点评：在两个变量的回归分析中要注意以下两点(1)求回归直线方程要充分利用已
9、知数据，合理利用公式减少运算(2)借助散点图，观察两个变量之间的关系若不是线性关系，则需要根据相关知识转化为线性关系某健身馆在2020年7,8两个月推出优惠项目吸引了一批客户为预估2021年7,8两个月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2020年7,8两个月100名客户的消费金额(单位：元)，分组如下：0,200)，200,400)，400,600)，1 000，1 200，得到如图所示的频率分布直方图：(1)请用抽样的数据预估2021年7,8两个月健身客户人均消费的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)若把2020年7,8两个月健身消费金额不低于800元的客户称为“健
10、身达人”经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？健身达人非健身达人总计男10女30总计(3)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案方案一：每满800元可立减100元；方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折， 中奖2次打8折，中奖3次打7折若某人打算购买1 000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种促销方案附：P(K2k)0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.
11、8416.6357.879K2.解(1)因为2020年7,8两个月这100名客户消费金额的平均值为(1000.000 503000.000 755000.001 007000.001 259000.001 001 1000.000 50)200620(元)，所以预估2021年7,8两个月健身客户人均消费金额为620元(2)列联表如下：健身达人非健身达人总计男104050女203050总计3070100因为K24.7623.841，所以有95%的把握认为“健身达人”与性别有关(3)若选择方案一，则需付款900元；若选择方案二，设需付款X元，则X的可能取值为700,800,900,1 000，P(
12、X700)C3，P(X800)C3，P(X900)C3，P(X1 000)C3，所以E(X)7008009001 000850(元)因为850900，所以选择方案二更划算 考点三概率、统计与函数、数列的交汇问题 由于随机变量对应的概率P0,1，故常先借助概率统计的知识建立有关P的函数解析式或递推关系式，在此基础上借助函数或导数、数列等知识求解相应问题典例3某商场以分期付款方式销售某商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为234P0.4ab其中0a1,0b1.(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；(2)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则
13、商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元商场销售两件该商品所获得的利润记为X(单位：元)求X的分布列；若P(X500)0.8，求X的数学期望E(X)的最大值解(1)设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，依题意得B(3,0.4)，则P(2)C(0.4)2(10.4)0.288，购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.(2)依题意X的取值分别为400,450,500,550,600，P(X400)0.40.40.16，P(X450)20.4a0.8a，P(X500)20.4ba20.8ba2，P(X550)2ab，P(X600)b2.X的分布列为：X400450500550600P0.160.8a0.8ba22abb2P(X500)P(X400)P(X450)P(X500)0.160.8(ab)a2，根据0.4ab1，得ab0.6，b0.6a，P(X500)0.8，0.160.48a20.8，解得a0.4或a0.4，a0，a0.4，b0，0.6a0，解得a0.6，a0.4,0.6)，E(X)4000.164500.8a500(0.8ba2)1 100ab600b2520100a，当a0.4
