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1、2006年浙江省宁波市某校保送生招生数学试卷一、选择题（有且只有一个正确答案，每小题5分，满分30分）)1. 已知直线yx上有两点A(1,1)，B(3,3)，在y轴上存在一点P，它到点A，B的距离之和最小，则点P的纵坐标是（ ）A.1B.32C.2D.522. 在四边形ABCD中，对角线AC是BD的垂直平分线，ADB30，CDB45，且AB=23，则四边形ABCD的面积是（ ）A.9+33B.18+63C.3+93D.33+9223. 某学生想把放置在水平桌面上的一块三角板ABC(ACB90,A30)，绕点C按顺时针方向旋转角，转到ABC的位置，其中A，B分别是A，B的对应点，B在AB上（如图
2、所示），则角的度数为（ ）A.30B.45C.60D.904. 规定n!n(n-1)(n-2).321（例如：4!4321），那么S1!+2!+3!+4!+.+2006!的个位数是（ ）A.0B.1C.2D.35. 某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3和l4相交，l1和l2相互平行且与l3、l4相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（ ）对A.4B.8C.12D.166. 今有一个圆形转盘，先把它的圆周6等分，然后从这6个分点中任取3点构成三角形，则能构成直角三角形的概率为（ ）A.15B.25C.35D.45二、填空题（每小题6分，满分30分）)7. 不论实数k为何值，
3、直线(2k+1)x+(1-k)y+7-k0恒经过的定点坐标是_8. 化简：610+36-25-3+32-125+3+1=_9. 已知直线y2x+1经过适当平移后的图象与原来的图象重合，试写出能满足要求的一种平移方案_10. 某人想买A、B、C三件物品，若买13件A物品、5件B物品、9件C物品，则需9.25元；若买2件A物品、4件B物品、3件C物品，则需3.2元试问若买A物品、B物品、C物品各2件，则需_元11. 已知实数x、y满足x2+xy+y21，则x2-xy+y2的最大值是_，最小值是_三、解答题（第12题12分，第13、l6题10分，第14、l5题l4分，满分60分）)12. 已知抛物线
4、yx2+(2a-1)x+a2+3a+174与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0) （1）求实数a的取值范围；（2）令Sx12+x22，求S的取值范围13. 若方程x2-37x+37k-10至少有一个正整数根，求所有正整数k的和14. （1）已知1+112+122=32,1+122+132=76,1+132+142=1312，试猜测1+1n2+1(n+1)2的结果，并加以证明；1+1n2+1(n+1)2=n2+n+1n(n+1)， 14. （2）s=1+112+122+1+122+132+1+132+142+1+120052+120062，求不超过S的最大整数s15. 规定三角形的三条内角平
5、分线的交点叫三角形的内心 （1）已知I为三角形ABC的内心，连接AI交三角形ABC的外接圆于点D，如图所示，连接BD和CD，求证：BDCDID（2）已知三角形ABC，AD平分BAC且与它的外接圆交于点D，在线段AD上有一点I满足BDID试问点I是否是三角形ABC的内心？若是加以证明；若不是，说明理由16. 现有质量分别为5克和23克的砝码若干只，在天平上要称出质量为4克的物体，问至少要用多少只这样的砝码才能称出？并证明你的结论参考答案与试题解析2006年浙江省宁波市某校保送生招生数学试卷一、选择题（有且只有一个正确答案，每小题5分，满分30分）1. B2. A3. C4. D5. D6. C二
6、、填空题（每小题6分，满分30分）7. (-2,-5)8. 32-19. 可向上平移3个单位，再向下平移3个单位（答案不唯一）10. 2.111. 3,13三、解答题（第12题12分，第13、l6题10分，第14、l5题l4分，满分60分）12. 抛物线yx2+(2a-1)x+a2+3a+174与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0) b2-4ac0，即(2a-1)2-4(a2+3a+174)0，解得a-1设方程x2+(2a-1)x+a2+3a+174=0的两根为x1，x2， x1+x21-2a，x1x2a2+3a+174， x12+x22(x1+x2)2-2x1x2(1-2a)2-2(a2
7、+3a+174)2(a-52)2-20， a494， 2(a-52)2-2092，即S9213. x2-37x+37k-10至少有一个正整数根， b2-4ac1373-148k0， k941148， k可取的正整数为1、2、3、4、5、6、7、8、9， 当k1时，原方程为：x2-37x+360，解方程得：x136，x21，符合题意，其余正整数k没有正整数根， k可取的正整数的和为114. 猜想：1+1n2+1(n+1)2=n2+n+1n(n+1)证明：1+1n2+1(n+1)2=n2(n+1)2+(n+1)2+n2n2(n+1)2=n2(n+1)2+2n(n+1)+1n(n+1)=n2+n+1
8、n(n+1)； n2+n+1n(n+1)=1+1n-1n+1， s1+1-12+1+12-13+1+13-14+1+12005-12006=2005+1-12006=200520052006， s200515. 证明：连接BI， I是ABC的内心， BADDAC，ABICBI， 弧BD弧DC， BDDC， BIDABI+BAD，IBDCBI+DBC， CADBADDBC， DBIBID， BDDI， BDCDID答：I是三角形ABC的内心证明：连接BI， BIDABI+BAD，IBDCBI+DBC，BDID， BIDIBD， AD平分BAC， BADCADDBC， ABICBIBID-BAI， ABICBI，即I在ABC的平分线上，即I是BAC何ABC的平分线的交点， I也在ACB的角平分线上，即I是三角形ABC的内心16. 证明：易知只用一种砝码是不行的，所以要两种都用，先考虑23克砝码的个数，设为x，设5克砝码是y个，则23x5y加减4，所以23x的尾数必然是1，4，6，9中的一个，所以x的尾数必然是2，3，7，8的一个，从小往大依次试验，x2，y10，x3，y13，x7，可知随着x的增大，y值也是增大的，所以最少用10+212个砝码试卷第5页，总5页
