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1、第五章函数概念与性质5.1函数的概念和图象1第1课时函数的概念1第2课时函数的图象55.2函数的表示方法95.3函数的单调性16第1课时函数的单调性16第2课时函数的最大值、最小值195.4函数的奇偶性235.1函数的概念和图象第1课时函数的概念知识点1函数的概念函数的定义一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数函数的记法从集合A到集合B的一个函数通常记为yf(x)，xA函数的定义域在函数yf(x)，xA中，所有的x(输入值)组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域函数
2、的值域若A是函数yf(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，则将所有输出值y组成的集合y|yf(x)，xA称为函数的值域1.有人认为“yf(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”这种看法对吗？提示不对符号yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象，f是对应关系知识点2同一函数(1)定义域和对应关系都相同的两个函数. (2)函数的对应关系和定义域都确定后，函数才能够确定(3)给定函数时要指明函数的定义域，对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合2.定义域和值
3、域都相同的函数是同一个函数吗？提示不一定是，如函数yx，x0,1，和yx2，x0,1定义域和值域都相同，但不是同一个函数考点 类型1函数的概念【例1】判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数(1)AN，BR，对于任意的xA，x；(2)AR，BN，对于任意的xA，x|x2|；(3)AR，B正实数，对任意xA，x；(4)A1,2,3，BR，f(1)f(2)3，f(3)4；(5)A1,1，B0，对于任意的xA，x0.思路点拨求解本题的关键是判断在对应关系f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应解(1)对于A中的元素，如x9，y的值为y3，即在对应关系f之下，B中有两个
4、元素3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数(2)对于A中的元素x2，在f作用下，|22|B，故不能构成函数(3)A中元素x0在B中没有对应元素，故不能构成函数(4)依题意，f(1)f(2)3，f(3)4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数判断一个对应关系是否为函数的标准是什么？提示(1)A、B必须是非空数集(2)A中任何一个一元素在B中必须有元素与其对应(3)A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应总结：函数中两变量x，y的对
5、应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多” 类型2求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域(1)f(x)；(2)f(x).解(1)要使f(x)有意义，则有3x20，x，即f(x)的定义域为.(2)要使f(x)有意义，则x1且x2，即f(x)的定义域为1,2)(2，)求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义
6、 类型3求函数的值域或函数值【例3】已知f(x)x24x2.(1)求f(2)，f(a)，f(a1)的值；(2)求f(x)的值域；(3)若g(x)x1，求f(g(3)的值思路点拨(1)将x2，a，a1代入f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f(g(3)解(1)f(2)224222，f(a)a24a2，f(a1)(a1)24(a1)2a22a1.(2)f(x)x24x2(x2)222，f(x)的值域为2，)(3)g(3)314，f(g(3)f(4)424422.在例3中，g(x)x1，求f(g(x)，g(f(x)解f(g(x)g(x)24g(x)2(x1)24(x1)2x22x1
7、，g(f(x)f(x)1x24x21x24x3.1函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得2求f(g(a)时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则3配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域 类型4抽象函数求定义域【例4】(1)已知函数yf(x)的定义域为1,4，则f(x2)的定义域为_(2)已知函数yf(x2)的定义域为1,4，则f(x)的定义域为_(3)已知函数yf(x3)的定义域为1,4，则f(2x)的定义域为_1在yf(x)中，f(x)的定义域指的是什么？x是什么？提示f(
8、x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量2在函数yf(x1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？提示yf(x1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围(1)1,2(2)3,6(3)(1)由题知对于f(x2)有x21,4，x1,2，故f(x2)的定义域为1,2(2)由题知x1,4，x23,6，f(x)的定义域是3,6(3)由题知x1,4，x34,7，对于f(2x)有2x4,7，x，即f(2x)的定义域为.抽象函数的定义域(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域：若f(x)的定义域为a，b，则f(g(x)中ag(x)b，从中解得x的取值范围即为f(g(x)的定义域(2)已知f(
9、g(x)的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x)的定义域为a，b，即axb，求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为f(x)的定义域用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：定义域指自变量的取值范围(告诉我们已知什么，求什么)括号内范围相同(告诉我们如何将条件与结论联系起来)第2课时函数的图象知识点1函数的图象将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0)当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点所有这些点组成的集合(点集)为(x，f(x)|xA，即(x，y)|yf(x)，xA，所有这些点组
10、成的图形就是函数yf(x)的图象1.函数的图象是否可以关于x轴对称？提示不可以，如果关于x轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量x0，有两个值和x0相对应，不符合函数的定义2.函数yf(x)，xA的图象与直线xm(垂直于x轴的直线)的交点有几个？提示0或1个，具体来说，当mA，由函数的定义，它们有唯一交点，当mA，它们无交点知识点2作图、识图与用图(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数yax2bxc(a0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a0，图象开口向上，a0时，图象开口向下，对称轴
11、为x.考点 类型1作函数的图象【例1】作出下列函数的图象，并求函数的值域(1)y3x(|x|N*且|x|3)；(2)yx22x2(1x2)解(1)|x|N*且|x|3，定义域为2，1,1,2，图象为直线y3x上的4个孤立点，如图由图象可知，值域为5,4,2,1(2)yx22x2(x1)21(x1,2)，故函数图象为二次函数y(x1)21图象上在区间1,2)上的部分，如图，x1时，y1；x1时，y5，函数的值域为1,5(变条件)将例1(2)中的定义域改为0,3)，函数的图象与值域变成怎样了？解图象变成函数y(x1)21在0,3)上的部分图象，如图x1时，y1；x3时，y5.值域变为1,5)怎样画
12、函数的图象？提示1画函数的图象，需首先关注函数的定义域定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分2描点作图，要找出关键“点”，再连线如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得连线时还需标注端点的虚实3函数的图象能体现函数的定义域、值域这就是数形结合思想 类型2函数图象的应用【例2】已知函数f(x)x22x3的图象如图所示，据图回答以下问题：(1)比较f(2)，f(0)，f(3)的大小；(2)求f(x)在1,2上的值域；(3)求f(x)与yx的交点个数；(4)若关于x的方程f(x)k在1,2内仅有一个实根，求k的取
13、值范围解(1)由题图可得f(2)5，f(0)3，f(3)0，f(2)f(3)f(0)(2)在x1,2时，f(1)0，f(1)4，f(2)3，f(x)0,4(3)在图象上作出直线yx的图象，如图所示，观察可得，f(x)与yx有两个交点(4)原方程可变形为：x22x3k，进而转化为函数yx22x3，x1,2和函数yk图象的交点个数问题，移动yk易知0k3或k4时，只有一个交点0k3或k4.1函数图象较形象直观的反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自变量变化而变化的趋势2常借助函数图象求解以下几类问题(1)比较函数值的大小；(2)求函数的值域；(3)分析两函数图象交点个数；(4)求解不等式或参数范围 类型3利用图象的平移变换作函数图象【例3】用平移图象的方式作出y2的图象，并说明函数y2的值域y2的图象与y的图象有怎样的关系？提示两者图象完全一样，位置不同y2可以看作y先向右移动1个单位，又向上移动2个单位得到解从图象可以看出y2的值域为(，2)(2，)
