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1、向量的减法、向量的数乘教学设计 教学目标1掌握向量减法的运算，并理解其几何意义，理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义，提升学生的直观想象核心素养2能将向量的减法运算转化为向量的加法运算，提升直观想象和逻辑推理核心素养3通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，提升学生的直观想象核心素养 教学重难点教学重点：了解数乘向量的概念，并理解这种运算的意义教学难点：对向量减法法则及向量数乘运算的应用 课前准备PPT课件 教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课
2、本，老师指导学生概括总结章引言的内容预设的答案：（1）主要研究向量的减法和数乘运算（2）通过前面的学习，让学生认识了向量，本节延续上一节的学习要求，开始向量的减法运算，数乘运算理清楚本节和上节的关系，为后面后续学习打好基础，做好铺垫设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架二、探索新知1、形成定义问题2：已知向量是向量与向量的和，如图所示，你能作出表示向量的有向线段吗？师生活动：提示学生利用向量加法的三角形法则预设的答案：由向量加法的三角形法则可知，向量实际上就是向量设计意图：通过向量加法的三角形法则，引出向量的减法实际上就是向量加法的逆运算，增强学生
3、学习的动力引语：而本节要讲的内容即额为向量的减法和向量的数乘（板书：向量的减法和向量的数乘）教师讲解：一般地，平面上任意给定两个向量，如果向量能够满足，则称为向量的差，并记作不难看出，在平面内任取一点O，作，作出向量，注意到，因此向量就是向量的差（也称为向量的差向量），即，当不共线时，求的差可用图6117表示，此时向量正好能构成一个三角形，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量的相反向量记作因此，的相反向量是，而且因为零向量的始点与终点相同，所以注意：（1）任何一个向量与它的相反向量的和都等于零向量即
4、（2）一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量3、 初步应用例1 已知平行四边形ABCD中，用分别表示向量师生活动：教师提示运用向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，学生观根据提示自己解决问题预设的答案：由向量加法的平行四边形可知，由减法的定义可知设计意图：给出两个向量的和向量与差向量的关系，这一结论经常用到，学生应特别注意例2 已知求的取值范围师生活动：教师引导学生用几何直观进行解释，也可借助软件制作动画，展示整个变化过程，教师给出答案预设的答案：当不共线时，由向量减法的三角形法则可知正好是一个三角形的三条边，从而，因此，当共线时，不难看出：如果方向相同，有，如果
5、方向相反，有，综上有设计意图：揭示问题本质，提高学生的学习兴趣问题3：结果是向量吗？如果是，那么结果向量的模是多少？方向如何？与向量的模及方向有什么关系？可否类比实数乘法的定义方法（555可以表示为35），把进行简写？师生活动：教师引导学生给出问题答案，并自行定义归纳出数乘向量的定义预设的答案：我们已经知道，多个向量相加，结果是一个向量特别地，给定一个向量，3个相加的结果，是一个模为3|、方向与相同的向量，通常这个向量简单记作3设计意图：揭示问题本质，提高学生的学习兴趣问题4：你能根据上述实例，给出实数与任意一个向量的乘积的定义吗？师生活动：学生自行思考并给出答案，教师给出正确答案预设的答案：
6、一般地，给定一个实数与任意一个向量，规定它们的乘积是一个向量，记作，其中（1）当0且0时，A的模为|，而且的方向如下：当0时，与的方向相同当0时，与的方向相反（2）当0或0时，0设计意图：通过上述问题的讨论，渗透类比、分类讨论以及数形结合的思想，加深学生对数乘向量的理解与认识教师讲解：上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量由定义不难看出，数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即；数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小，特别地，一个向量的相反向量可以看成1与这个向量的乘积，即（1）当设，为实数，则（）aaa；（a）（）a；（ab）ab数乘向量的定义说
7、明，如果存在实数，使得则例3 已知其中为非零向量，判断是否平行，并求的值师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答预设的答案：由 得，代入得，因此，且32设计意图：判断两个向量是否平行，可以考虑其中一个向量是否可以写成另一个向量与数的乘积例4 已知判断A，B，C是否共线，如果共线，求出ABAC师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答预设的答案：由已知得 因此A，B，C三点共线，且AC5AB，即ABAC15设计意图：利用数乘的方法给出了判断三个不同的点是否共线的方法巩固练习1下列各式中不表示向量的是（ ）A0a Ba3bC|3a| De（x，yR，且xy）师生活动：学生自行解答，由老师指定学生
8、回答预设的答案：C 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量24（ab）3（ab）b等于（ ）Aa2b BaCa6b Da8b师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答预设的答案：D 4（ab）3（ab）b4a4b3a3bba8b设计意图：通过巩固训练的设置，加深概念的理解和应用四、归纳小结，布置作业问题5：（1）向量减法的三角形法则是什么？（2）什么是数乘向量？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充预设的答案：（1）一般地，平面上任意给定两个向量，如果向量能够满足，则称为向量的差，并记作不难看出，在平面内任取一点O，作，作出向量，注意到，因此向量就是向量的差（也称为向量的差向量），
9、即，当不共线时，求的差可用图6117表示，此时向量正好能构成一个三角形，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则（2）一般地，给定一个实数与任意一个向量，规定它们的乘积是一个向量，记作，其中（1）当0且0时，A的模为|，而且的方向如下：当0时，与的方向相同当0时，与的方向相反（2）当0或0时，0实数与向量相乘的运算简称为数乘向量设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确向量减法和数乘向量的概念的有关知识五、目标检测设计1若两个非零向量a与（2x1）a方向相同，则x的取值范围为_设计意图：考查学生对向量的运算的混合运算能力2O为平行四边形ABCD的中心，4e1，6e2，则3e22e1_设计意图：考查学生对数乘向量的简单应用3若平面内不共线的四点O，A，B，C满足，则_设计意图：考查学生对混合运算的应用参考答案：1x解析：由定义可知，2x10，即x2（或）解析：设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边中点，则3e22e132解析：因为，所以，即，所以|， 同理可得|， 得2
