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1、数列综合题的常见类型与方法解析湖南省黄爱民 高明生 数列与其它数学知识的综合性问题一直是高考的热点，数列综合题一般是以数列与函数、数列与不等式，数列与解析几何为主,全面考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想以及分析和解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性。下举例谈谈数列综合题的常见类型及方法解析。一、 等差、等比数列的综合问题例、已知数列中，且对任意正整数都有.数列对任意自然数都有.()求证数列是等比数列；()求数列的通项公式;(）设数列的前项的和为,求的值.分析： 已知条件中，数列的通项公式是通过相邻两项之间的关系给出的,而数列的通项公式则是通过数列给出.因此,解答本题自然有两
2、种思路:一是从数列入手,这就应该通过代数变形，致力于证明为定值;二是从数列的通项公式入手.如何求出数列的通项公式呢？由于已知条件与等比数列很相似,结合上下文，则可以考虑设法构造出一个与及有关的新的等比数列.解法1：(1）， 一方面，,另一方面,， .又，数列是以为首项,以为公比的等比数列.（2)由(1)可知：,又, ,.（3).解法2：设数列为等比数列，则,对照,不难解得：，.数列是以为首项，以为公比的等比数列 . . = .评析：解法1是按照题目设问由易到难的顺序，思路自然顺畅;解法2虽不失为巧思妙解，但其思路的获得一方面源于对的认识，另一方面,题目的设问也给了我们一定的提示.二、 数列与函
3、数综合问题例、函数是定义在0,1上的增函数，满足且，在每个区间（1，2)上，的图象都是斜率为同一常数的直线的一部分。 (I）求及，的值，并归纳出的表达式;(II)设直线,，x轴及的图象围成的矩形的面积为（1,2),记，求的表达式,并写出其定义域和最小值。分析:本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 解:(I)由,得 由及,得. 同理，归纳得(II)当时, , . 所以是首项为,公比为的等比数列,所以. 的定义域为1,当时取得最小值评析：本题第一问用到了“归纳猜想证明”的思维模式，第二问则用到了化归转化求极限的数学思想。这是求解数列问题最为常用的思想方法。三、 数列与
4、不等式综合问题例、设数列满足（1）证明：对一切正整数n 成立;（2）令,判断的大小，并说明理由。分析：本题第一问是属于递推关系型数列探求数列中有关恒成立问题;第二问是不等式中大小比较问题。(I）证法一：当不等式成立综上由数学归纳法可知,对一切正整数成立.证法二：当n=1时,.结论成立.假设nk时结论成立，即 当的单增性和归纳假设有所以当n=k1时,结论成立.因此,对一切正整数n均成立.证法三：由递推公式得上述各式相加并化简得 (I)解法一： 评析：对于数列中有关恒成立的问题的参数取值问题，常常采用“猜想归纳证明”，分离参数或者放缩累加的方法求解。而对于数列中大小比较问题采用作差比较或数学归纳法
5、求解。四、 数列与解析几何综合问题例4、由坐标原点O向曲线引切线，切于以外的点P1，再由P引此曲线的切线,切于P1以外的点P）,如此进行下去，得到点列P。求：（）的关系式；（)数列的通项公式；()当时,的极限位置的坐标.分析：本题主要考查数列与解析几何中的切线、导数及极限等问题。着重考查运用数列知识解决相关数学知识的能力。解:(） 过点P1（的切线为 过原点 则过点过点 整理得 ()由（I)得, 公比为的等比数列.分 （法二）通过计算再用数学归纳法证明.（)2分 的极限位置为(评析:数列与解析几何综合题常常考查数列中的递推关系和极限思想，求解这类问题的关键是正确写出递推关系,并在此基础上求出数
6、列通项公式，掌握常见的数列极限思想。五、 数列创新题例5、如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第行共有n个数，且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n-1行与之相邻的两个数的和，分别表示第行的第一个数,第二个数，.第n 个数。求的通项公式。 分析:要求通项公式，首先应根据图形关系理清解题思路，其次应反复观察图形中各项的变化规律,以便找到解决问题的突破口。解：（1）由图易知从而知是一阶等差数列,即以上n-1个式相加即可得到:评析：数列创新题是近年高考创新题的热点问题。求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系,通常需转化成一阶(或二阶）等差数列结合求和方法来求解。六、
7、 数列应用题例6、某产品具有一定的时效性,在这个时效期内,由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下,可卖出b件。若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为(n1)千元时多卖出件，(nN*）。（1）试写出销售量与n的函数关系式;(2）当a=10,b=00时厂家应生产多少件这种产品,做几千元广告，才能获利最大？分析：对于(1)中的函数关系,设广告费为n千元时的销量为sn，则n1表示广告费为(n-)元时的销量，由题意，ns1，可知数列sn不成等差也不成等比数列,但是两者的差构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：解法一、直接列式:由题，s=b+(2-)(广告费为1千元时，s+；2
8、千元时，b+；n千元时s=b+)解法二、（累差叠加法)设s0表示广告费为0千元时的销售量，由题：，相加得Sn-S0=+,即b+=b（2-)。(2)b=4000时,s000(-），设获利为t,则有t=s0-10n40000（-)-1000n欲使n最大,则:,得,故n=，此时s=7875。即该厂家应生产77件产品，做5千元的广告,能使获利最大。评析:有的应用题中的数列递推关系,a与-1的差（或商)不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。七、 探索性问题例7、数列的前n项和满足： 2n.(N)（） 求数列的通项公式；（） 数列中是否存在三项,它们
9、可以构成等差数列?若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在, 请说明理由分析：本题第一问是属于已知“S与an的关系式”探求数列通项问题，常用转化求解；第二问是存在型探索性问题。解:(1)当n时有：2n，2-3(n1),两式相减得：=2=+3。3=2(+)。又,=， +数列3是首项为6,公比为的等比数列.从而+3=,=-3. 另解：归纳猜想再用数学归纳法证，过程略。（2) 假设数列中是否存在三项，,(rs),它们可以构成等差数列, 只能是=，（-）（3)=2(）即+9+ rt，、均为正整数，式左边为奇数右边为偶数，不可能成立.因此数列中不存在可以构成等差数列的三项评析：本题第二问就属于存在型探索
10、性问题,求解方法是假设存在,然后依据题设条件进行逻辑推理最后得正确判断。数列通项公式的几种求法数列通项公式直接表述了数列的本质,是给出数列的一种重要方法。数列通项公式具备两大功能,第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项;第二,可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题;因此，求数列通项公式是高中数学中最为常见的题型之一,它既考察等价转换与化归的数学思想,又能反映学生对数列的理解深度,具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，因而经常渗透在高考和数学竞赛中。本文分别介绍几种常见的数列通项的求法，以期能给读者一些启示。一、常规数列的通项例:求下列数列的通项公式（1）
11、，,，(2）-，,（3)，,，解:（1）n= （2)an= （3) an评注:认真观察所给数据的结构特征,找出an与的对应关系，正确写出对应的表达式。二、等差、等比数列的通项直接利用通项公式aa+（n-1)和a=-1写通项，但先要根据条件寻求首项、公差和公比。三、摆动数列的通项例：写出数列1,-1,1,-1,的一个通项公式。解:an=(1）1 变式1：求数列0，2,0,0,2,的一个通项公式。分析与解答：若每一项均减去1,数列相应变为-1，,1，1,故数列的通项公式为n1+(-1）n变式:求数列3，,3，3，0,的一个通项公式。分析与解答:若每一项均乘以，数列相应变为，0,2，0，故数列的通项
12、公式为n=+(-）-1 变式：求数列5，1,5,1,5,1，的一个通项公式。分析与解答1:若每一项均减去,数列相应变为,，4,0,故数列的通项公式为n+21+（1）n-1 +1+（）n1 分析与解答2:若每一项均减去3,数列相应变为2，-2,-2，故数列的通项公式为an=3+2(1)n-四、循环数列的通项例：写出数列.1,0.01,.001，.0001，的一个通项公式。解:an= 变式1：求数列0.5,0.05，0.5,的一个通项公式。解：n= 变式2：求数列0.9，9,0.99,的一个通项公式。分析与解答：此数列每一项分别与数列0.1，0.1,0001,0.01,的每一项对应相加得到的项全部
13、都是，于是an1 变式3:求数列07,0.77，0.777，7777，的一个通项公式。解：a (1） 例4：写出数列1，10,100,1000,的一个通项公式。解：an=10n-变式1:求数列9,99，99，的一个通项公式。分析与解答：此数列每一项都加上1就得到数列0,10，10，故an=10n。变式2:写出数列4，44，44,4444的一个通项公式。解：an= （101) 评注：平日教与学的过程中务必要对基本的数列通项公式进行过关，这就需要提高课堂教与学的效率,多加总结、反思,注意联想与对比分析，做到触类旁通，也就无需再害怕复杂数列的通项公式了。五、通过等差、等比数列求和来求通项例5:求下列数列的通项公式(1）.，0.77,0.777, (2)3，33,33,3,（3）12,1212,12122， (4）1,1+2，1+23,解：（1)= 7 =7(0.1+0.010.01+ ）=7(+）=（-)(2)an = 3
