第十二章 数项级数 教学目的：１.明确认识级数是研究函数的一个重要工具;２.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的;3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性 教学重点难点:本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别;难点是一般级数敛散性的判别法 教学时数:１８学时 1 级数的收敛性 一. 概念 : 1． 级数 :级数 ,无穷级数 ; 通项 （ 一般项 , 第 项 )， 前 项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 ．２. 级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数 的敛散性.(这是一个重要例题！）解 时, ． 级数收敛 ; 时, 级数发散 ; 时, , , 级数发散 ; 时, , , 级数发散 .综上, 几何级数 当且仅当 时收敛, 且和为 ( 注意 从0开始 ). 例2 讨论级数 的敛散性． 解（利用拆项求和的方法）例３ 讨论级数 的敛散性.解 设 , , = , . , . 因此, 该级数收敛. 例４ 讨论级数 的敛散性.解 , ． 级数发散.3. 级数与数列的关系 : 对应部分和数列｛ }, 收敛 ｛ }收敛;对每个数列{ }, 对应级数 ， 对该级数, 有 = . 于是,数列｛ }收敛 级数 收敛.可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 ． 4. 级数与无穷积分的关系 ： , 其中 . 无穷积分可化为级数 ;对每个级数， 定义函数 ， 易见有= . 即级数可化为无穷积分.综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 ， 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 二. 级数收敛的充要条件 —— Cａuchy准则 :把部分和数列{ ｝收敛的Cａuｃhｙ准则翻译成级数的语言 ， 就得到级数收敛的Ｃauchy准则 . Th ( Cauchy准则 ) 收敛 和 N, ． 由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 ， 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 ． 去掉前 项的级数表为 或.系 ( 级数收敛的必要条件 ) 收敛 . 例5 证明 级数 收敛 .证 显然满足收敛的必要条件 . 令 , 则当 时有应用Cauchｙ准则时，应设法把式 ｜ |不失真地放大成只含 而不含 的式子,令其小于 ，确定 . 例6 判断级数 的敛散性. ( 验证 . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )例7 ( 但级数发散的例 ) 证明调和级数 发散 .证法一 （ 用Caｕchy准则的否定进行验证 ) 证法二 证明｛ }发散. 利用已证明的不等式. 即得 ， ． 三. 收敛级数的基本性质：（ 均给出证明 ） 性质1 收敛， — Const 收敛且有 = ( 收敛级数满足分配律 ) 性质2 和 收敛 , 收敛, 且有 ＝ .问题 : 、 、 三者之间敛散性的关系.性质3 若级数 收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不变 . （ 收敛数列满足结合律 ) 例8 考查级数 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的结果说明什么问题 ? 2 正项级数 一. 正项级数判敛的一般原则 ： 1． 正项级数 ： ↗； 任意加括号不影响敛散性．２. 基本定理 : Tｈ 1 设 ． 则级数 收敛 . 且当 发散时, 有, . ( 证 )正项级数敛散性的记法 .３. 正项级数判敛的比较原则 : Tｈ 2 设 和 是两个正项级数 , 且 时有 ， 则 ⅰ> < , < ； ⅱ＞ = , = .( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )例1 考查级数 的敛散性 ．解 有 例2 设 . 判断级数 的敛散性 . 推论１ ( 比较原则的极限形式 ) 设 和 是两个正项级数且 ,则 ⅰ> 时 , 和 共敛散 ; ⅱ> 时 , < , < ; ⅲ> 时 , = , = . （ 证 ) 推论2 设 和 是两个正项级数 , 若 ＝ , 特别地 ，若 ～ , , 则< = . 例３ 判断下列级数的敛散性： ⑴ ; ( ~ ) ; ⑵ ;⑶ ． 二． 正项级数判敛法: 1. 检比法: 亦称为 D’ａlembert判别法 .用几何级数作为比较对象 , 有下列所谓检比法 .Th ３ 设 为正项级数 , 且 及 时 ⅰ> 若 , < ; ⅱ> 若 ， = . 证 ⅰ> 不妨设 时就有 成立 , 有 依次相乘 , , 即 . 由 , 得 ， < . ⅱ＞ 可见 往后递增 , .推论 ( 检比法的极限形式 ) 设 为正项级数 , 且 . 则 ⅰ> ＜ , ＜ ; ⅱ＞ > 或 ＝ ， ＝ ． ( 证 )註 倘用检比法判得 = , 则有 .检比法适用于 和 有相同因子的级数,特别是 中含有因子 者． 例4 判断级数 的敛散性．解 , . 例5 讨论级数 的敛散性. 解 . 因此, 当 时， ； 时， ; 时, 级数成为 , 发散. 例6 判断级数 的敛散性 . 注意 对正项级数 ，若仅有 ,其敛散性不能确定 ． 例如对级数 和 , 均有 ，但前者发散, 后者收敛 ． 2． 检根法 ( Ｃａｕcｈy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Ｔｈ ４ 设 为正项级数 , 且 及 , 当 时 ， ⅰ> 若 , ＜ ; ⅱ> 若 ， = . ( 此时有 .) ( 证 )推论 ( 检根法的极限形式 ) 设 为正项级数 , 且 . 则 , ＜ ; , = ． ( 证 ）检根法适用于通项中含有与 有关的指数者 . 检根法优于检比法. 例7 研究级数 的敛散性 . 解 , ． 例８ 判断级数 和 的敛散性 .解 前者通项不趋于零 ， 后者用检根法判得其收敛 . 3． 积分判别法 ： Tｈ ５ 设在区间 上函数 且↘ . 则正项级数 与积分共敛散. 证 对 且 . 例9 讨论 级数 的敛散性.解 考虑函数 0时 在区间 上非负递减 . 积分当 时收敛 , 时发散. 级数 当 时收敛 ,时发散． 时, , 级数发散．综上 , 级数 当且仅当 时收敛 . 例10 讨论下列级数的敛散性： ⑴ ; ⑵ . 习 题 课 一． 直接比较判敛： 对正项级数,用直接比较法判敛时 , 常用下列不等式: ⑴ . ⑵ 对 , 有 ． ⑶ ; 特别地 ， 有 , . ⑷ 时 , 有 ． ⑸ . ⑹ 充分大时 , 有 . 例1 判断级数 的敛散性． 解 时, , ( 或 ）． …… 例2 判断级数 的敛散性 , 其中 ． 解 时 , 有 ； 时 , ．例3 设数列 有界 . 证明 ．证 设 . 例4 设 且数列 有正下界 . 证明级数 .证 设 . 例5 ． 若 , 则 .证 ; 又 . 例6 设 . 若级数和 收敛 ,则级数 收敛.例7 设 . 证明 ⑴ , , ； ⑵ 和 之一或两者均发散时, 仍可能收敛 ； ⑶ , , ．证 ⑴ 充分大时 , ． ⑵ 取 . ⑶ . 二. 利用同阶或等价无穷小判敛 ： 例8 判断下列级数的敛散性： ⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ ； ⑸ ． 例9 判断下列级数的敛散性: ⑴ ; ⑵ ．註 设正项级数 的通项 为 的有理分式 . 当 为 的假分式时, 由于 , ; 若 为 的真分式 , 倘用检比法, 必有 .有效的方法是利用等价无穷小判别法. 例10 设函数 在点 有连续的二阶导数, 且 . 试证明： ⑴ 若 , 则级数 发散. ⑵ 若 , 则级数 收敛. （ 2002年西北师大硕士研究生入学试题 ） 解 把函数 在点 展开成带二阶Lagraｎｇe型余项的Ｍacｌａurin公式, 有, 介于 与 之间. ⑴ 若 ,则当 充分大时 不变号， 可认为 是同号级数． 有 ∽ , 发散.⑵ 若 注意到 在点 连续, 在点 的某邻域内有界, 设, 有 | |= . , 收敛. 。