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1、210高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C题 输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂,同时在铁路线上增建一个车站,用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时,若有共用管线,应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示,其中A厂位于郊区（图中的I区域),B厂位于城区(图中的I区域）,两个区域的分界线用图
2、中的虚线表示。图中各字母表示的距离(单位:千米)分别为= 5，= 8，c = 1,l 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司(其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质)进行了估算。估算结果如下表所示:工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）122请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 在该实际问题中,为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力,选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元,共用管
3、线费用为每千米.2万元,拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点说明本要点仅供参考,各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。(1) 如图1，设P的坐标为(x, ) (x 0， 0）,共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为图1只需考虑的情形。对上述二元费用函数求最小值可得（不妨假设） (a） 当时，;（）当时，,;() 当时,，。对共用管道费用与非共用管道费用相同的情形只需在上式中令k =1。本小题的评阅应注意模型的正确性，结果推导的合理性及结果的完整性。(2） 对于出现城乡差别的复杂情况,模型将做以下
4、变更:(a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质,用加权平均的方法得出费用的估计值。注意:公司一的权值应大于公司二和公司三的权值,公司二和公司三的权值应相等。(b） 假设管线布置在城乡结合处的点为Q,Q到铁路线的距离为z(参见图2)。图2一般情况下，连接炼油厂A和点Q到铁路线的输油管最优布置应取上述(1）(b)的结果,因此管道总费用最省的数学模型成为其中t表示城乡建设费用的比值。当 时,取得最小值。若在建立正确的模型后，用优化软件进行数值求解也是可取的。两种极端情形:当权重取为:1:1时,P点坐标为(5.44,.556),Q点坐标为 (50000,3715）,最小费用
5、为23.5373万元。当权重取为1:0：0时，P点坐标为(5459,18481),Q点坐标为 (.000,7.564),最小费用为280.71万元。最终的答案依赖于权重的不同取值,但最小费用应介于20.1771万元和23533万元之间。（3) 考虑各部分管道费率不等的情况。分别用记A、P、PH、BQ段管道的费率,并设P和Q点的坐标分别为(， y)、（c,z) （如图3所示),则总费用的表达式为图3可以写出F的最优解的解析表达式，也可以用数值求解的方法得到比较精确的结果。两种极端情形：当权重取为1:1:1时,点坐标为（6.310,0.1409）,点坐标为 （15.00,7.2839)，最小费用为
6、5.814万元。当权重取为1:0:0时，点坐标为(6.7424,0.327),Q点坐标为 (15.00,.2659）,最小费用为9422万元。最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于249.4422万元和5.104万元之间。注：评阅时,（2)、()两小题得到最优解的解析表达式比仅有数值结果为好。 输油管线的优化布置摘 要： 铁路一侧建两家炼油厂, 合建输油管线而达到费用最省的设计模式, 具有一定的普遍性 利用多元函数极值模型, 从管线长度和角度两方面进行分析:对问题一:考虑共用管线与非共用管线费用相同或不同的情形分为: 1 所有管线费用相同； 2. 共用管线与非共用管线费用不同， 但非
7、共用管线费用相同； 3.共用管线与非公用管线费用不同，两条非公用管线的费用也不同.对上述三种情况从管线长度和角度进行分析得到了较好的结果:情况1, 情况2, , , 角度上的分析不仅使这种情况有统一的模型,并且清晰的量化了管线的费用系数对角度的影响. 也更加直观的理解是否需要建立共用管线的条件和运输管线交点的位置情况 对问题二: 首先比较了三家工程咨询公司的资质和估算值， 选择具有甲级资质的公司一(估算值1万元/千米)， 本问题是一个三元函数极值问题, 用求解得时，有最省费用为万元. 对问题三:与问题二相似, 选择具有甲级资质的公司一, 利用三元函数极值的方法, 结合求解得 时, 同时有最省费
8、用为万元.关键词: 多元函数; 极值; 优化一、问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂, 同时在铁路线上增建一个车站,用来运送成品油. 由于这种模式具有一定的普遍性， 需要解决以下三个问题. 问题一,针对两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间的距离提出不同的方案,并要求若有共用管线,要考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形. 问题二， 题目要求我们需对一更为复杂的情形进行具体的分析和设计,并且两炼油厂分别在郊区和城区. 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用, 聘请三家工程咨询公司(其中公司一具有甲级资质, 公司二和公司三具有乙级资质）对此项附加费用进行估计进行了估算 具
9、体数据见题表,得出具体方案和计算出相关费用. 问题三， 为进一步节省费用,根据炼油厂的生产能力, 选用相适应的油管,降低管线费用, 得出的具体方案和计算出费用. 二、问题分析问题一, 考虑到共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形, 分为以下几种情况: 情况1， 共用费用与非共用管线费用均相同, 讨论是否需要建立共用管线,在需要建立共用管线的情况下, 共用管线与非共用管线的分叉点的位置, 它们与取值的关系; 情况, 两条非共用管线费用相同, 但是共用管线费用与非共用管线费用不同非共用管线与共用管线在单位长度上的费用的比例为; 情况3,共用管线与非公用管线费用不相同,以及两条非共用管线费用也
10、不相同, 两条非共用管线费用与共用管线费用的比值为, ； 建立模型并分析影响点坐标值的因素； 得到最优方案. 问题二、三, 首先对三家工程咨询公司进行比较, 选出较优的公司， 建立三元函数,找出极值点, 最后算出最省费用三、模型假设与符号说明模型假设. 假设只考虑管线费用和附加费用, 不考虑管线拐弯和分叉的费用; 2. 假设炼油厂比炼油厂距离铁路近；3. 假设不考虑铺设管线线路的地势和地形的变化.符号说明: 分别表示铁路线一侧两个炼油厂的位置;: 表示共用和非共用管线的交叉点；： 分别表示，的长度；: 表示第种情况下, 铺设管线的总费用;:表示城区和郊区的输油管线费用不同的情况下的总费用; ：
11、 表示在共用管线和非共用管线, 以及城区和郊区管线费用都不同的情况下的总费用；:表示车站的位置;:表示厂到铁路的距离;: 表示厂到铁路的距离;: 表示、两个厂之间铁路的距离;: 分别表示,的长度；: 分别表示，的长度；: 表示过点的管线与轴的夹角;：表示过点的管线与的夹角；: 表示当共用和非共用管线费用不同, 但两个厂非共用管线费用相同时,共用和非共用管线费用的比值;： 分别表示在所有管线费用都不同的情况下,在,管线上的费用的相对值；四、模型的建立与求解4问题一的模型根据题目可知, 两个炼油厂建在铁路的一侧， 针对共用管线与非共用管线费用是否相同, 共分为以下三种情况进行讨论： 4.1.1共用
12、管线费用和非共用管线费用均相同以铁路线为轴， 所在的直线为轴建立直角坐标系, 取一点,连接，. 从点向轴引一条垂线, 交点为， 记点就是车站. 如图1, ,由于铺设所有管线的费用相同, 为了计算方便设为1, 建立模型:则在此情况下， 铺设管线费用为，用求解方程组：得运用多元函数求极值判断方法和结合实际问题， 得， 即点的坐标为这里对解的结果分情况进行讨论: 1.当时，不需要建共用管线,这时需要所铺设的管线总长度最短,过点作关于轴的对称点, 连接交轴于点,连接. 此时（即铺设的管线)是最短的,具体如图2所示, 根据相似三角形有,所以可以求得， 所以车站建在铁路线上点处.2. 时， 需要建共用管线
13、: ()当时, 共用管线与非共用管线的分叉点,其中，,车站建在处 (2）当时，就是点位于轴的左侧, 这样连接有可能与轴的交点在点上面, 这样使得所铺的管线就越长, 耗用的费用就越大, 所以这时将车站建在点处（即坐标原点), 点为共用管线与非共用管线的分叉点,为非共用管线,为共用管线为进一步分析上面“”和“”出现的结果的原因, 我们从管线、与轴的角度关系来进行验证和分析.令得, 即； 令;得, 即；得到角度模型:解得.即与轴, 与的夹角均为. 根据这个角度模型, 形象的解释上面“”,“”的情况. 如图1, 先从点向原点方向引一条与轴成的直线, 若此直线与轴的交点在点的上面, 即时, 就是上面 “
14、”的情况 再从点向点方向引一条与轴成的直线, 两线的交点若在轴的下方， 即时， 就是上面“”的情况.41.共用管线费用和非共用管线费用不相同, 但两个非共用管线费用是相同引入共用管线费用和非共用管线费用的比值为，建立模型: 则在这种情况下,铺设管线的总费用为,;利用,求解得此结果与.1的模型求解结果结构相同,取时, 即为4.1.1的模型求解的结果同样地,建立角度模型,分析对角度的影响. 令 则有;得， 即;再令, 则；得, 即; 即得到角度模型:解得从此结果得出系数对角度产生的影响的量化表示 41.3共用管线费用和非共用管线两支线的费用都不相同引入共用管线费用和非共用管线费用的比值为,此处的取值关系为： . 如图1，建立模型:具体为:;令 ;令;解得到角度模型，通过软件求解， 记， 得为了进一步论证上面式子的准确性, 就前两问中涉及到的关于， 把代入上式,结果与411相同; 把代入上式, 结果与4.1.2相同. 这里只给出了的值,而没有给出明确的点的坐标. 由于都是未知量， 用求解的结果含有和的表达式相当复杂, 这里就不具体给出， 利用软件的运算过程见附录1. 在图形
