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1、第1章绪论1.数值计算方法的对象与特点11.1 什么是数值计算方法现代的科学技术发展十分迅速,他们有一个共同的特点,就是都有大量的数据问题。 比如，发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星设计开始到发射、回收为止,科学家和工程技术人员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生产，要对选用的火箭进行设计和生产,这里面就有许许多多的数据要进行准确的计算。发射和回收的时候,又有关于发射角度、轨道、遥控、回收下落角度等等需要进行精确的计算。有如,在高能加速器里进行高能物理试验,研究具有很高能量的基本粒子的性质、它们之间的相互作用和转化规律，这里面也有大量的数据计算问题。 计算问题可以数是现代社会各个领域
2、普遍存在的共同问题,工业、农业、交通运输、医疗卫生、文化教育等等，各行各业都有许多数据需要计算，通过数据分析，以便掌握事物发展的规律。 研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的一门学科就叫做计算方法。计算方法属于应用数学的范畴，它主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效解决。 .2 数值计算方法的内容 数值计算方法也叫做计算数学或数值分析。数值计算方法主要内容包括非线性方程求根、线性代数方程组解法、微分方程的数值解法、插值问题、函数的数值逼近问题、概率统计计算问题等等，还要研究解的存在性、惟一性、收敛性和误差分析等理论问题。我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式,因此,要求出
3、五次以上的高次代数方程的解,一般只能求它的近似解,求近似解的方法就是数值分析的方法。对于一般的超越方程，如对数方程、三角方程等等也只能采用数值分析的办法。怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题。 在求解方程的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。迭代法的计算是比较简单的,是比较容易进行的。迭代法还可以用来求解线性方程组的解。求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式,使得收敛速度快，近似误差小。 在线性代数方程组的解法中，常用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法等等。此外,一些比较古老的普通消去法，如高斯法、追赶法等等，在利用计算机的条件下也可
4、以得到广泛的应用。在数值计算方法中,数值逼近也是常用的基本方法。数值逼近也叫近似代替,就是用简单的函数去代替比较复杂的函数,或者代替不能用解析表达式表示的函数。数值逼近的基本方法是插值法。初等数学里的三角函数表，对数表中的修正值，就是根据插值法制成的。在遇到求微分和积分的时候,如何利用简单的函数去近似代替所给的函数,以便容易求微分和求积分,也是计算方法的一个主要内容。微分方程的数值解法也是近似解法。常微分方程的数值解法有欧拉法、预测校正法等。偏微分方程的初值问题或边值问题,目前常用的是有限差分法、有限元素法等。有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程和
5、定解条件。求出差分方程的解法作为求偏微分方程的近似解。 有限元素法是近代才发展起来的，它是以变分原理和剖分差值作为基础的方法。在解决椭圆形方程边值问题上得到了广泛的应用。目前，有许多人正在研究用有限元素法来解双曲形和抛物形的方程。 数值计算方法的内容十分丰富，它在科学技术中正发挥着越来越大的作用。 1.3 数值计算方法的特点第一,面向计算机,要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、除和逻辑运算，是计算机能直接处理的。 第二,有可靠的理论分析,能任意逼近并达到精度要求,对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省
6、时间,空间复杂性好是指节省存储量,这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。 第四，要有数值实验,即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外,还要通过数值实验证明是行之有效的。 根据“数值计算方法”的特点,学习时我们要注意掌握方法的基本原理和思想,要注意方法处理的技巧及其与计算机结合,要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论；其次,要通过例子,学习使用各种数值方法解决实际计算问题;最后，为了掌握本课的内容，还应做一定数量的理论分析与计算问题练习。由于本课内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，以及高级程序设计的方法，读者必须掌握这几门课的基本内容才能学好这一课程。1.2
7、误差来源与误差分析 .2.1 误差的来源早在中学我们就接触过误差的概念，如在做热力学实验中，从温度计上读出的温度是23.就不是一个精确的值,而是含有误差的近似值。事实上，误差的在我们的生活中无处不在，无处不有。如量体裁衣，量与裁的结果都不是精确无误的，都有误差。人们可能会问:如果使用计算机来解决问题,结果还会有误差吗？下面我们通过考察数学方法解决实际问题的主要过程来思考这个问题。 用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型,这就要对实际问题进行抽象、简化，因而数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差。在数学模型中通常包含各种各样的参变量，如温度、长度、电压等，这些参数往往都是通过
8、观测得到的，因此也带来了误差,这种误差叫做观测误差。当数学模型不能得到精确解时,通常要建立一套行之有效的数值方法求它的近似解，近似解与准确解之间的误差就称为截断误差或方法误差。由于在计算机中浮点数只能表示实数的近似值，因此用计算机进行实际计算时每一步都可能有误差，这种误差称为舍入误差。 例如,函数()用泰勒(ayor)展开式近似代替,则数值方法的截断误差是 （介于与之间) 又如,在计算时用14159近似替代产生的误差3.1459=.006 就是舍入误差。上述种种意味着都会影响计算结果的准确性,因此需要了解与研究误差。在数值计算方法中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它们的传播与积累作出分析。1
9、. 绝对误差、相对误差与有效数字 1绝对误差与绝对误差限 定义1 设为准确值,为的一个近似值,称为近似值的绝对误差,或误差。通常我们无法知道准确值，也不能算出误差的准确值,只能根据测量或计算估计出误差的绝对值不超过某个正数,则称为绝对误差限。有了绝对误差限就可知道的范围，即落在区间内。例如用毫米测度尺测量一长度，读出的长度为23mm，则有mm。由此例也可以看到绝对误差是有量纲和单位的。 2相对误差与相对误差限 只用绝对误差还不能说明数的近似程度,例如甲打字时每百个字错一个，乙打字时平均每千个字错一个,他们的误差都是错一个，但显然乙要准确些。这就启发我们除了要看绝对误差大小外，还必须顾及量的本身
10、。 定义.2 把近似值的误差与准确值的比值 称为近似值的相对误差,记作。 实际计算时，由于真值通常是不知道的,通常取。相对误差也可正可负，它的绝对值的上界叫做相对误差限。记作。即。根据定义，甲打字时的相对误差,乙打字时的相对误差。易知相对误差是一个无量纲量。3.有效数字当有多位时，常常接四舍五入的原则得到的前几位近似值，例如 取3位； 取5位; 它们的误差都不超过末位数字的半个单位,即 现在我们将四舍五入抽象成数学语言,并引入一个新名词“有效数字”来描述它。 定义.3 若近似数的误差限是某一位的半个单位，该位到的第一位非零数字共有位，我们就说有位有效数字。 如取作的近似值，就有位有效数字;取作
11、的近似值,就有5位有效数字。 有效数字也可采用以下定义： x的近似数*写成标准形式: (1.1） 其中是0到的一个数字，且不为0，为整数,若 （12）则称有位有效数字。 例1.1 依四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似数, 91.982，3.882，0.014254,8.0 解: 按定义，上述的5位有效数字的近似数分别为 9.96,9.1,0.01432,8.00 注意,8.00033的5位有效数字的近似值是8.00而不是8,8只有一位有效数字。有效数字与误差关系 不难看出,若由(.1）给出某近似数有 位有效数字，则可以从（12）求得这个数的绝对误差限因此，在相同的情况下,越大则就越
12、小，故有效数字越多，绝对误差限越小。 定理1.1 用(.1)表示的近似数,若具有位有效数字,则其相对误差限为 反之，若的相对误差限则至少具有位有效数字。 证明 由式(.1)得所当有位有效数字时 反之,若的相对误差限有: 由式（1.2)式知道，至少有位有效数字,证毕这说明有效数字越多，相对误差限越小。 例1.要使的近似值的相对误差限小于，要取几个有效数字? 解:因为，所以,令故取即可满足。5函数计算的误差估计一般情况，当自变量有误差时计算相应的函数值也会产生误差，其误差限可利用函数的泰勒展开式估计。 设是一元函数,的近似值为,以近似，其误差界记作，可用泰勒展开式 介于，之间，取绝对值得 假定与的
13、比值不太大,可忽略的高阶项，于是可得计算函数值的误差限例1.3设的相对误差限为2%，则的相对误差限是多少？ 解: 所以的相对误差限为0.2。 当为多元函数时,如计算。如果的近似值为，则的近似值，于是函数值的误差由泰勒展开式得 于是误差限为例14 已测得某场地长的值为，宽的值为,已知，试求面积的绝对误差限与相对误差限。解：因，那么 其中于是绝对误差限 相对误差限 1. 误差传播与若干防治办法由前述可知，在数值计算中每步都可能产生误差。而一个问题的解决,往往要经过成千上万次运算，我们不可能每步都有加以分析,下面,通过对误差的某些传播规律的简单分析，指出在数值计算中应注意的几个原则,它有助于鉴别计算
14、结果的可靠性并防止误差危害现象的产生。 1要避免两相近数相减 在数值运算中两相近数相减会使有效数字严重损失，例如都具有五位有效数字,但只有两位有效数字，所以要尽量避免这类运算。 通常采用的方法是改变计算公式,例如当与很接近时,由于那么可用右端的公式代替左端的公式计算,有效数字就不会损失。当很大时， 也可用右端来代替左端。一般情况,当时,可用泰勒展开取右端的有限项近似左端。 如果计算公式不能改变，则可采用增加有效位数的方法。 要防止大数“吃掉”小数若参加运算的数的数量级相差很大,而计算机的位数有限，如不注意运算次序，就可能出现大数“吃掉”小数的现象,影响计算结果。例如在五位十进制计算机上，计算 写成规格化形式 由于计算时要对阶,在计算机中表示为0，计算出来,结果严重失真！如果计算时，先将 计算出来,再与592相加,就不会出现大数“吃掉”小数的现象了。 3.注意简化计算步骤，减少运算次数 同样一个计算题,如果能减少运算次数,不但可节省计算机的计算时间,还能减少舍入误差。 例如,计算25的值,如果逐个相乘要用24次乘法,但若写成只要做14次乘法运算即可。 4.绝对值太小的数不宜作除数 设与分别有近似值的近似值,其绝对误差 显然,当很小时,近似值的绝对误差有可能很大。因此,不宜把绝对值太小的数作除数。
