《上海市奉贤中学2021届高三下学期期中数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海市奉贤中学2021届高三下学期期中数学试题（解析版）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、FY21上海市奉贤区奉贤中学高三下学期期中试卷一、填空题1. 已知（i为虚数单位），则_.【答案】【解析】【分析】由的周期性，计算出，再求出z，求出.【详解】因，所以，所以，所以故答案为：.【点睛】复数的计算常见题型：(1) 复数的四则运算直接利用四则运算法则；(2) 求共轭复数是实部不变，虚部相反；(3) 复数的模的计算直接根据模的定义即可.2. 设一组样本数据，的方差为，则数据，的方差为_.【答案】【解析】【分析】根据方差的性质，若，的方差为，则，的方差为，计算即得答案.【详解】根据题意，一组样本数据，的方差，则数据，的方差为；故答案为：.3. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】根据两角
2、和的正弦公式，将原式化简整理，即可得出结果.【详解】由可得，则，因此，从而有，即.故答案为：.4. 点到直线距离的最大值为_.【答案】【解析】【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为.【详解】解：直线恒过点，则点到直线距离的最大值为点到点的距离，点到直线距离的最大值为：.故答案为：.5. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_【答案】【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为，由于，故，
3、设内切圆半径为，则：，解得：，其体积：.故答案为：.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.6. 展开式的二项式系数之和为32，则展开式中的系数是_.（用数字填写答案）【答案】80【解析】【分析】先根据展开式的二项式系数之和为32求出的值，再利用二项式展开式的通项求解.【详解】因为展开式的二项式系数之和为32，所以.展开式的通项为，令.所以展开式中的系数
4、是.故答案为：80【点睛】结论点睛：关于二项式的展开式的各项的二项式系数和为，系数和为.要正确区分这两个概念，注意理解掌握这个结论，熟练灵活运用，提高解题效率.7. 不等式的解集为，且，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题可知实数满足或，解出即可.【详解】由题可知实数满足或，解得或或，故实数的取值范围是.8. 在数列中，若对一切都有且，则的值为_【答案】【解析】【分析】由递推关系可知数列和均为等比数列，由等比数列求和公式和极限的思想可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得.【详解】若，则，不合题意，；，数列是以为公比的等比数列，数列是以为公比的等比数列，解得：，.故答案为：.9.
5、 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为_【答案】【解析】【分析】由题意可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合，【详解】解：由图可知四棱锥有5个顶
6、点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，所以面角和为，故总曲率为故答案为：10. 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则到平面的距离为_【答案】1【解析】【分析】画出图形，利用已知条件求三角形的外接圆的半径，然后求解即可【详解】由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，可得：，球的表面积为，设外接球的半径为；所以，解得，所以到平面的距离为：故答案为：111. 已知，且.式子的最小值是_.【答案】2【解析】【分析】令，从而可得，再利用基本不等式即可求解.【详解】令，则，且，当且仅当取等号，即时成立.故答案
7、为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方12. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有3个零点，则的最小值是_【答案】2【解析】分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为，可得，根据函数的图象可知，解得即可得解.【详解】因为函数为偶函数，且有且仅有3个零点，所以
8、必有一个零点为，所以，得，所以函数的图象与直线在上有且仅有3个交点，因为函数的最小正周期，所以，即，得，所以的最小值是2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：根据偶函数图象的对称性求出是解题关键.二、选择题13. 已知全集，是的非空子集，且，则必有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意画出图来表示集合，的关系，从而判断选项的正误得出答案.【详解】根据条件，用图来表示集合，的关系如下.由图可知，故选项A正确，选项B,C,D不正确.故选：A14. “是“直线与直线平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【答案】D【解析】分析
9、】根据两条直线平行的条件以及充要条件的定义可得答案.【详解】因为直线与直线平行等价于且，即，所以“是“直线与直线平行”的充要条件.故选：D【点睛】结论点睛：本题考查充要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含15. 已知的反函数图像的对称中心为，则的值为A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【详解】试题分析：本题是根据反函数的性质来解答的，已知原函数和它的反函数图像关
10、于直线对称，可知，的对称中心为，又因为，所以的对称中心也为，所以，解得，选择B.考点：1.原函数和反函数的关系；（2）分离常数法；（3）对称中心.16. 已知不等式的解集是，则下列四个命题： ： ； 若不等式的解集为，则； 若不等式的解集为，且，则.其中真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】因为有且只有一个零点，故可得，即可，再利用基本不等式和不等式性质以及韦达定理，即可得答案；【详解】由题意， .对于：，等号当且仅当时成立，所以正确；对于：，等号当且仅当，即时成立， 正确；对于：由韦达定理，知， 错误；对于：由韦达定理，知，则，解得， 正确；综上，真命
11、题的个数是3，故选：C.三、解答题17. 如图在三棱锥中，棱、两两垂直，点在上，且.（1）求异面直线和所成的角的大小；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线和所成的角的大小；（2）计算出的面积，并推导出平面，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.【详解】（1）由于、两两垂直，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则、，因此，异面直线和所成的角的大小为；（2），平面，.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的
12、定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.18. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则该函数为“依附函数”（1）判断函数是否为“依附函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域上“依附函数”，求的取值范围【答案】（1）不是“依附函数”；理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据“依附函数”的定义，取得，方程无解，即可得答案；（2）先用反证法证明函数在定义域上“依附函数”时，有，进而得，故
13、，再结合二次函数性质即可得范围.【详解】解：（1）对于函数的定义域内存在，则，无解故不是“依附函数”；（2）由指数函数的性质易知：在定义域上上单调递增，下证：函数在定义域上“依附函数”时，有假设，则当时，存在，使得，当时，存在，使得，由于在定义域上上单调递增，故，所以与矛盾，故因为在递增，所以，所以，由，故，得，所以由于在上单调递增，故【点睛】本题考查三角函数的新定义问题，反证法证明命题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，利用反证法证明函数在定义域上“依附函数”时，有.19. 由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3
14、月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，(为长度单位).陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.（1）求点到点的距离；（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.【答案】（1）；（2），面积的最小值.【解析】【分析】（1）连接，在中，利用余弦定理求出，可求出，可得出的值，在中，利用正弦定理求出的值，进而利用勾股定理可求得；（2）利用三角形的面积公式可得出，利用基本不等式可求得的最
