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1、专升本(地方)考试密押题库与答案解析河南省专升本考试高等数学模拟2专升本(地方)考试密押题库与答案解析河南省专升本考试高等数学模拟2河南省专升本考试高等数学模拟2一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案)问题:1. 函数的反函数是_A.y=2x-1B.y=22x-1C.y=42x-1D.y=4x-1答案:C解析 两边平方,得4x=42y,所以x=42y-1, 互换x与y得反函数为y=42x-1(-x 答案:解析 由于 于是 问题:2. 已知当x0时,f(x)与1-cosx为等价无穷小,则答案:解析 当x0时, 所以 问题:3. 点x=0是函数的_间断点答案:跳跃解析 因为 所以
2、x=0为跳跃间断点 问题:4. 曲线y=x3-3x2+2x-1的拐点为_答案:(1,-1)解析 y=3x2-6x+2,y=6x-6,令y=0得x=1, 因为当x1时,y0;当x1时,y1, 所以(1,-1)为曲线的拐点 问题:5.答案:解析问题:6.答案:解析问题:7. 设z=xexy,则答案:(2x+x2y)exy解析 因为 问题:8. 点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离为_答案:1解析问题:9. 微分方程的通解为_答案:y=e2x(C1cosx+C2sinx)解析 特征方程为r2-4r+5=0, 解得特征根为r1=2-i,r2=2+i, 所求通解为y=e2x(C1cosx
3、+C2sinx) 问题:10. 函数展开为(x-1)的幂级数为_答案:解析 因为且知 故 三、计算题(每小题5分,共50分)问题:1.答案:问题:2. 设函数选取适当的a,b值,使f(x)在x=0处可导,并求f(x)答案:因为f(x)在x=0处可导,从而f(0)=1+b,即1+b=0,得b=-1. 又因为所以a=2. 故当a=2,b=-1时f(x)在x=0处可导且f(0)=2. 故 问题:3.答案:问题:4. 求定积分答案:问题:5. 求过直线且与平面x+4y+z+3=0垂直的平面方程答案:因为s=2,1,3,n1=1,4,1, 由题设知 又因平面过点(1,0,2),所以所求平面方程为 -11
4、(x-1)+1(y-0)+7(z-2)=0, 即11x-y-7z+3=0. 问题:6. 设求函数z在点(1,1)处的全微分答案:问题:7. 求其中D为y=x,y=x+a,y=a和y=3a(a0)为边的平行四边形答案:首先画出积分区域D,如图所示把它看作Y型则 问题:8. 求微分方程满足初始条件y|x=1=0特解答案: 由得 所以所求特解为 问题:9. 将函数展开成x的幂级数,并写出其收敛区间答案:问题:10. 求幂级数的和函数答案:设则 故 故即 四、应用题(每小题7分,共14分)问题:1. 过曲线y=x2(x0)上某点A作切线,若切线、曲线、x轴围成的图形的面积为,求该图形绕x轴旋转一周所得
5、旋转体的体积答案:如图,设A点坐标为由 y=2x得切线方程为 即 由 可得x0=1,切点A(1,1) 切线方程为2x-y-1=0,切线与z轴交点为 所求旋转体体积 问题:2. 窗的形状由半圆置于矩形上面形成,如图,若窗框的周长为l,试确定半圆的半径x及矩形的高y,使所通过的光线最为充足 答案:设窗户的面积为A,则 窗的周长为l=x+2x+2y,即 代入A的表达式得A为x的函数, 令A=l-x-4x=0,得 又A=-40,故当时,A(x)取得最大值 此时即当时,光线最为充足 五、证明题(6分)问题:1. 当x1时,证明:答案:证明 构造函数f(t)=ln(1+t),则 当x1时,显然f(t)在1,x上连续,在(1,x)内可导 所以至少存在一个(1,x)使 6 / 6