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1、专升本(地方)考试密押题库与答案解析四川省专升本高等数学模拟1专升本(地方)考试密押题库与答案解析四川省专升本高等数学模拟1四川省专升本高等数学模拟1一、单项选择题问题:1. 当x0时，x2是x-ln(1+x)的_A.较高阶的无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.较低阶的无穷小量答案:C解析 本题考查的知识点为无穷小量阶的比较 由于 可知当x0时，x2与x-ln(1+x)为同阶但不等价无穷小量，故应选C 问题:2. _ A0 B C D2 答案:B解析问题:3. 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是_ A Bf(x)=xe-x，0，1 C Df(x)=|x|，0，1 答案:A
2、解析 注意罗尔定理有三个条件：(1)f(x)在a，b上连续；(2)f(x)在(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b)逐一检查三个条件即可为了简便起见先检查f(a)=f(b)故选A问题:4. 设曲线y=x-ex在点(0，-1)处与直线l相切，则直线l的斜率为_A.B.1C.0D.-1答案:C解析 本题考查的知识点为导数的几何意义由于y=x-ex，y=1-ex，y|x=0=0由导数的几何意义可知，曲线y=x-ex在点(0，-1)处切线斜率为0，因此选C问题:5. 平面1：x-2y+3z+1=0与2：2x+y+2=0的位置关系为_A.垂直B.斜交C.平行不重合D.重合答案:A解析 本题考查的知识点
3、为两平面的位置关系 两平面的关系可由平面的法向量n1，n2间的关系确定 若n1n2，则两平面必定垂直 若n1n2，当时，两平面平行，但不重合； 当时，两平面重合 若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交 由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1n2=0，可知n1n2，因此12，故选A 问题:6. 设，则_A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3答案:D解析 所以I2I1I3故选D 问题:7. 设x=ln(x2+y)，则_ A B C D 答案:B解析 求，将y认定为常量，则故选B问题:8. 设unavn(n=1，2，)(a0)，且收敛，则_A.必定收敛
4、B.必定发散C.收敛性与a有关D.上述三个结论都不正确答案:D解析 由正项级数的比较判别法知，若unvn，则当收敛时，也收敛；若发散时，则也发散，但题设未交代un与vn的正负性，由此可分析此题选D问题:9. 微分方程y=x的通解为_ Ay=x By=x+C C D 答案:D解析 本题考查可分离变量的微分方程分离变量得dy=xdx，两端分别积分，问题:10. 设矩阵A33满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为_ A B3 C D 答案:A解析 利用公式A*A=AA*=|A|E(E是与A同阶的单位矩阵) 由A*=AT及AA*
5、=|A|E得AAT=|A|E 于是，|A|2=|A|3，即|A|=0，1 由可得，即(显然|A|=0不符合题意)，所以 二、填空题问题:1. 函数的定义域是_答案:1x2解析 本题考查对数函数的定义域和简单指数不等式的求解由8-2x+10， 得22x8=23，知x2，又由，知1x2，所以1x2 问题:2. 设，则y=_答案:解析 本题考查如何求函数的二阶导数问题:3. 方程x2+2y2-z2=0表示的二次曲面是_答案:锥面解析 对照二次曲面的标准方程，可知所给曲面为锥面问题:4. 设，则其在区间0，2上的最大值为_答案:解析 由知，所以y在0，2上单调递减于是ymax=问题:5. 设，且k为常
6、数，则k=_答案:解析 故三、计算题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)问题:1. 计算答案:解法一 利用洛必达法则： 解法二 利用等价无穷小量代换：当x0时，ex-1x，可得 解析 本题考查的知识点为利用洛必达法则求型极限，或利用等价无穷小量代换简化求极限运算 问题:2. 计算答案:解 解析 本题考查定积分的计算，可利用分部积分法问题:3. 设z=f(u，v)，而u=x2y，其中f(u,v)存在偏导数，求答案:解 由复合函数的链式法则得 由于所给z=f(u，v)为抽象函数，而 于是解析 本题考查的是抽象函数求偏导数的方法题中已给出u=x2y，所以直接利用复合函数求偏导的链式法则即可 问题
7、:4. 求不定积分答案:解 令1+ex=t， 则 解析 本题主要考查求不定积分的方法之一换元法的应用设x=(t)是单调可导函数，(t)0，又设f(t)(t)有原函数，则有换元公式利用不定积分公式即可求解 问题:5. 计算二重积分，其中D为曲线x=y2+1与直线x=0，y=0，y=1所围成的区域答案:解 作出积分区域D的草图，如图所示，则积分区域可以用不等式0xy2+1，0y1表示，故 解析 解二重积分最好先根据题中所给的区域D画出草图，以便定出积分上、下限注意此题只能先对x积分 问题:6. 求微分方程y+y-2y=0的通解答案:解 方程的特征方程为r2+r-2=0，可解得特征根为r1=-2，r
8、2=1，所以微分方程的通解为y=C1e-2x+C2ex解析 本题考查求二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题:7. 将函数展开成x-1的幂级数，并指出其收敛区间答案:解 由于的收敛区间的收敛区间，所以f(x)的收敛区间为(-1，3)解析 ，然后将上式右边逐项展开即可 已知非齐次线性方程组 有三个线性无关的解 8. 证明方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2；答案:解 容易看到r(A)2，此外，由于所给的非齐次线方程组有三个线性无关的解，记为1，2，3，则1-2，1-3是对应的导出组的解，且线性无关由此可知，导出组的基础解系中至少包含两个线性无关的特解，从而r(A)4-2=2因此r(A)=29. 求a
9、，b的值及方程组的通解答案:对系数矩阵A施行初等行变换： 于是，由r(A)=2得解之得a=2，b=-3 对a=2，b=-3的增广矩阵B施行初等行变换： 由此可知，导出组有基础解系(-2，1，1，0)T，(4，-5，0，1)T，此外，非齐次线性方程组有解(2，-3，0，0)T，所以所给非齐次线性方程组的通解为 (x1，x2，x3，x4)T=C1(-2，1，1，0)+C2(4，-5，0，1)T+(2，-3，0，0)T，其中，C1，C2是任意常数解析 本题加在方程组上的条件为“有三个线性无关的解”，要求确定的是“a，b的值及方程组的通解” 四、应用题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)问题:1.
10、 一张1.4m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8m，问观察者在距离多远处看图才最清楚(即视角最大)?答案:解 设观察者与墙的距离为xm，则 令=0，得驻点x=2.4(0，+) 根据问题的实际意义，观察者最佳站位存在，驻点又唯一，因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚解析 本题为利用导数求最值问题 问题:2. 求，x轴及x=1所围图形的面积A及其分别绕x轴，y轴的旋转体体积Vx和Vy答案:解 解析 就一般情况而言，如果有两条曲线y=f(x)，y=g(x)(假设f(x)g(x)与x=a，x=b(ab)所围成的平面绕x轴旋转一周后所成的旋转体的体积公式为： 五、证明题(本题10分)问题:1. 设函数f(x)在-a,a(a0)上连续，证明答案:证明 对于则 所以解析 本题利用定积分的性质证明等式成立 9 / 9
