单元6+平面图形的几何性质要点

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1、澧县职业中专建筑教研组一、课题粱的正应力及其强度条件二、课型：课堂讲 解三、授课日期星期节次_ 四、 知识点：1.平面几何图形的重心和形心概念；一般物体、均质物体和均质薄板的重心坐标的计算。2 .静矩的概念和计算。（包括简单图形和组合平面图形）。3 .惯性矩、惯性积、惯性半径的概念，平行移轴公式。4 .形心主惯性轴和主惯性矩的概念。梁纯弯曲时的正应力分布规律及正应力计算公式；梁的正应力强度条件及强度计算；矩形截面与工字形截面梁剪应力的计算公式、 常用截面梁的最大剪应力公式；梁的剪切强度条件；梁的合理截面形状、提高梁抗弯强度的措施。5、梁变形的概念；挠曲线近似微分方程； 抗弯刚度；叠加法求梁的变

2、形； 梁的刚度条件；提高梁刚度的措施。6、一点处的应力状态、单元体、平面应力状态、主应力、主平面，最大 切应力；梁的主应力迹线；强度理论简介。掌握正应力分布规律及横截面上任一点的正应力计算公式；理解正应力强度条件， 熟练对梁进行正应力强度计算；了解剪应力的分布规律及剪应力强度条件；掌握梁的变形及刚度条件。7、掌握用叠加法求梁的变形、理解梁的挠度与转角的概念；了解梁的挠曲线近似微分方程、 了解刚度条件及刚度计算；了解提高梁抗弯刚度的措施。了解梁的主应力迹线；了解强度理论。五、 教学要求：1.理解重心和形心的概念，掌握坐标计算。2 .能够熟练运用公式计算简单图形和组合图形的静矩、惯性矩。3 .识记

3、简单图形对形心轴的惯性矩。4 .灵活运用平行移轴公式。5、掌握正应力分布规律及横截面上任一点的正应力计算公式；理解正应 力强度条件，熟练对梁进行正应力强度计算；了解剪应力的分布规律及剪应力强度条件；掌握梁的变形及刚度条件。6、掌握用叠加法求梁的变形、理解梁的挠度与转角的概念；了解梁的 挠曲线近似微分方程、了解刚度条件及刚度计算；了解提高梁抗弯刚度的措施。7、理解应力状态、单元体的概念；掌握平面应力状态分析的解析法； 掌握主应力、主平面、最大剪应力的概念及其计算；了解梁的主应力迹线；了解强度理论。 六、教学过程1.1重心的概念课题1重心和形心第1页共14页澧县职业中专建筑教研组地球上的任何物体都

4、受到地球引力的作用，这个力称为物体的重力。可将物体看作是由 许多微小部分组成，每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球中心。 但是，由于一般物体的尺寸远比地球的半径小得多，因此，这些引力近似地看成是空间平行力系。 这些平行力系的合力就是物体的重力 1.2 一般物体重心的坐标公式1 . 一般物体重心的坐标公式如图61所示，为确定物体重心的位置，将它分割成n个微小块，各微小块重力分别为G、G、G,其作点的坐标分别为 （xi、yi、zi）、（X2、y2、Z2）（xn、yn、zn）,各微小块所受重力的合力 W即为整个物体所受的重力 G乏G,其作用点的坐标为 C（xc、yc、zc）。 对y轴

5、应用合力矩定理，有：同理，对工轴取矩可得事乂 G第14页共14页图6-1将物体连同坐标转 900而使坐标面oxz成为水平面，再对 z轴应用合力矩定理，可得:因此，一般物体的重心坐标的公式为:用V,则物体的重力 G=Vt ,微小体积为V ,2 .均质物体重心的坐标公式对均质物体用丫表示单位体积的重力，体积为微小体积重力 G=Vi 丫，代入式（4 1）得均质物体的重心坐标公式为:(6-2)由上式可知，均质物体的重心与重力无关。所以，均质物体的重心就是其几何中心，称 为形心。对均质物体来说重心和形心是重合的。3 .均质薄板的重心（形心）坐标公式对于均质等厚的薄平板，如图6-2所示取对称面为坐标面oy

6、z,用8表示其厚度，A表示微体积的面积，将微体积V=S Ai及V=S A代人式（6-2）,得重心（形心）坐标公式为：EA yi12Aziyc=zc=(4-3)A A图6-24 .平面图形的形心计算形心就是物体的几何中心。因此，当平面图形具有对称轴或对称中心时，则形心一定在对称轴或对称中心上。 如图6-3所示。若平面图形是一个组合平面图形，则可先将其分割为若干个简单图形，然后可按式(6-3)求得其形心的坐标，这时公式中的A为所分割的简单图形的面积，而 zi,yi为其相应的形心坐标，这种方法称为分割法。另外，有些组合图形 可以看成是从某个简单图形中挖去一个或几个简单图形而成，如果将挖去的面积用负面

7、积表示，则仍可应用分割法求其形心坐标，这种方法又称为负面积法。图6-3【6-1 试求图6-4所示T形截面的形心坐标。图6-4【解】将平面图形分割为两个矩形，如图 4-4所示，每个矩形的面积及形心坐标为:Ai =200X50道=0g = 1504 =20。乂 50啊=0=25由式(6-3)可求得T形截面的形心坐标为：v,_二 Aly +4及2。0X 5D X 15。+ 200 X goX25 乂 A At+A2 200X50+200X50 一月mm工=0【例6-2】试求图6- 5所示阴影部分平面图形的形心坐标。【解】将平面图形分割为两个圆，如图 6-5所示，每个圆的面积及形心坐标为图6-5Ai

8、n . jei =0* 士0=/型 b=R/2 山=0由式（6-3）可求得阴影部分平面图形的形心坐标为:乂二。,r 划一 4一 +4q必。-L，RA Ai+A2 jt R * r2 2 （R2，）课题2静矩2.1 2.1定义任意平面图形上所有微面积dA,与其坐标y（或z）乘积的总和，称为该平面图形对z轴（或y轴）的静矩，用Sz（或Sy）表示，即： ，5产人叫Sy=（6-4）由上式可知，静矩为代数量，它可为正，可为负，也可为零。2.2 2.2简单图形的静矩简单图形的面积 A与其形心坐标yc（或zc）的乘积，称为简单图形对z轴或y轴的静矩，即：Sz=A - ycSy=A zc（6-5）当坐标轴通过

9、截面图形的形心时，其静矩为零；反之，截面图形对某轴的静矩为零，则该轴一定通过截面图形的形心。2.3 组合平面图形静矩的计算S=Z2A , yciSy=EA zci （6-6）式中a i-各简单图形的面积；y 、zd-各简单图形的形心坐标。课题3 惯性矩、惯性积、惯性半径3.1惯性矩、惯性积、惯性半径的定义3.1.1 惯性矩图66所示，任意平面图形上所有微面积 为该平面图形对z轴（或y轴）的惯性矩，用dA与其坐标y（或z）平方乘积的总和，称 I z（或I y）表示，即：图6-6L = f /dA j (6-7 )3.1.2 惯性积任意平面图形上所有微面积dA与其坐标z、y乘积的总和，称为该平面图

10、形对惯性积可为正，可为负，也可为零。常用单位为 只要z、y轴之一为平面图形的对称轴，则平面图形对z、y两轴的惯性积，用Ixy表示，即:（6-8）力或mrn可以证明，在两正交坐标轴中, z、y轴的惯性积就一定等于零。3.1.3惯性半径在工程中为了计算方便,将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即:式中i x、i y-平面图形对（6-9）z、y轴的惯性半径，常用单位为m或mm4 .简单图形的惯性矩及惯性半径（1）简单图形对形心轴的惯性错（由式6-7积分可得）蛆形 圆形 环形【例63】试计算图67所示由两根N020槽钢组成的截面对形心轴z、y的惯性矩。【解】组合截面有两根对称轴， 形心

11、C就在这两对称轴的交点。 由型钢表查得每根槽. 心C或G到腹板边缘的距离为 19. 5 m成 每根槽钢截面积为：4 = Ak 3. 283 X10* mtn2 每根槽钢对本身形心轴的惯性矩为:111=1发=19137乂1014心=1砒=L436X10 mm， 整个截面对形心轴的惯性矩应等于两根槽钢对形心轴的惯性轴之和，故得：+1 = 19* 137X10 + 19.137X10ft-38. 3X 106mm4ly + = 2/1 =2( Al )I,CA i Z-= 2X1, 436X10十(19. 5 +j) X3, Z83X103 J -15. 87X106mmt ，.：课题4梁弯曲时的应

12、力及强度计算由于梁横截面上有剪力 Q和弯矩M两种内力存在，所以它们在梁的横截面会引起相 应的剪应力和正应力，5.1 梁横截面上正应力1、正应力分布规律(1)平面假设 各横向线代表横截面，变形前后都是直线，表明截面变形后仍保持平面，且仍垂直于弯曲后的梁轴线。(2)单向受力假设将梁看成由无数纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。从上部各层纤维缩短到下部各层纤维伸长的连续变化中，必有一层纤维既不缩短也不伸长，这层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称中性轴，中性轴通过横截面 形心，且与竖向对称轴垂直，并将横截面分为受压和受拉两个区域。由此可知，梁弯曲 变形时，各截面绕中性轴转动，使梁

13、内纵向纤维伸长和缩短，中性层上各纵向纤维的长 度不变。通过进一步的分析可知，各层纵向纤维的线应变沿截面高度应为线性变化规律， 从而由虎克定律可推出，梁弯曲时横截面上的正应力沿截面高度呈线性分布规律变化。2、正应力计算公式如下图所示，根据理论推导(推导从略)，梁弯曲时横截面土任一点正应力的计算公 式为：图 9-27图 9-28式中M-一横截面上的弯矩；.y 所计算应力点到中性轴的距离;Iz 截面对中性轴的惯性矩。(9-4)由式（9-4）说明，梁弯曲时横截面上任一点的正应力口与弯矩M和该点到中性轴距离y成正比，与截面对中性轴的惯性矩Iz成反比，正应力沿截面高度呈线性分布；中性轴上（y=o）各点处的

14、正应力为零；在上、下边缘处（y= ymax;）正应力的绝对值最大。用上式计算正应力时，M和y均用绝对值代入。当截面上有正弯矩时，中性轴以下部分为拉应力，以上部分 为压应力；当截面有负弯矩时，则相反。5.2 梁横截面上的剪应力1.剪应力分布规律假设对于高度h大于宽度b的矩形截面梁，其横截面上的剪力Q沿y轴方向，如下图所示,（1） 横截面上各点处的剪应力。都与剪力Q方向一致;（2）横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相等，即沿截面宽度为均匀分布。现假设剪应力的分布规律如下：向（C）2、矩形截面梁的剪应力计算公式根据以上假设，可以推导出矩形截面梁横截面上任意一点处剪应力的计算公式 为：式中V横截面上的剪力；I Z整个截面对中性轴的惯性矩；（或以下）部分的面积A。对中性轴的静矩。b 需求剪应力处的横截面宽度；S z横截面上需求剪应力点处的水平线以上I用上式计算时，V与Sz均用绝对值代人即可。V,该点水平线以现求上图所示矩形截面上任意一点的剪应力，该点至中性轴的距离为 上横截面面积A对中性轴的静矩为：又。=金，代入式（9-5）得：工=器（if）上式表明剪应力沿截面高度按二次抛物线规律分布。在上、下边缘处，剪应力为零；在中性轴上（y=0）,剪应力最大，其值为：& 2bh,A由此可见，