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1、实用标准文档二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0.a 0问卜0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0.a的绝对值越大，抛物线的开口越小。22. y ax c的性质:上加下减。a的符号:开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c.a 0问卜0, cy轴x 0时，y随x
2、的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .23. y a x h的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , 0X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y 随x的增大而减小；x h时，y有最小值0 .a 0问卜h , 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y 随x的增大而增大；x h时，y有最大值0.24. y ax hk的性质:a的符号；开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y 随x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0问卜h, kX=hx h时，y随x的增大而减
3、小；x h时，y 随x的增大而增大；x h时，y有最大值k .、二次函数图象的平移1 .平移步骤：2万法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h, k ; 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h, k处，具体平移方法如下：y=ax2y= y=ax2+k向右（h0）【或左（h0）【或向下（k0）【或下（k0）【或下（k0）【或左（h0）或左（h0）】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k文案大全2 .平移规律在原有函数的基础上 h值正右移，负左移；k值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：y ax2 bx c沿y轴
4、平移：向上（下）平移m个单位，y ax2 bx c变成2，八.2.、yaxbxc m （或 yax bx c m）y ax2 bx c沿轴平移：向左（右）平移 m个单位，y ax2 bx c变成ya（xm）2b（x m） c（或y a（x m）2b（x m） c）三、二次函数yk与y ax2 bx c的比较从解析式上看,k与y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配,22方可以得到前者，即 y a x 4ac b ,其中h2a 4ab 4ac b一,k 2a 4a四、二次函数yax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax2 bx c化为顶点式y a（x h）2
5、 k ,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点 2h, c、 与x轴的交点 为，0, x2,0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与y轴的交点.五、二次函数y ax2 bx c的性质1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为 2ab 4ac b22a 4a当x 2时，y随x的增大而减小；当x2a2时，y有最小值4ac b .4a2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为xbb一时，y随x的增
6、大而增大；当x 2a2a,顶点坐标为2a2a4ac b24ab时，y随x的增大而减小；当x -b时，y 2a2ax 2时，y随x的增大而增大；当x2a2有最大值4ac b .4a六、二次函数解析式的表示方法21 . 一般式：y ax bx c (a, b, c为常数，a 0)；2 .顶点式：y a(x h)2 k (a, h, k为常数，a 0)；3 .两根式：y a(x xi)(x x2) (a 0,为，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才
7、可以用交 点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a2一次函数y ax bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0 . 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大；当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，| a的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a 0的前提下，当b0时，0,即抛物线的对称轴在 y轴左侧；2a当b0时，0,即抛物线的对称轴就是 y
8、轴；2a当b0时，0,即抛物线对称轴在 y轴的右侧.2a在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时， 2 0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2a当b 0时，_b_ 0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b 0时， 2 0,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.bab的符号的判定：对称轴 x 在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧则ab 0 ,概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c当c当c当c0时,0时,0时,抛物线与抛物线与抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴
9、交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为0； y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式八、二次函数图象的对称二次函数图象
10、的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；2.一 一 .2y a x h k关于x轴对称后，得到的解析式是 y a x h k；2.关于y轴对称y ax2 bx c关于y轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c；2.一 一 .2y a x h k关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；3.关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是2 axbxc;2y a x h k关于原点对称后，得到的解析式是4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180。）2y axbx c关于顶
11、点对称后，得到的解析式是2 axbxb22a k关于顶点对称后，得到的解析式是5.关于点对称k关于点 m, n对称后，得到的解析式是2h 2m2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.二次函数图像参考:2 xy= 2_ 2 y=xy=2x 22【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法一 一 一【例1】求作函数y -x2 4x
12、6的图象21c1c【解】y 1x2 4x 6 1(x2 8x 12)2224)241(x2 4)2-2以x 4为中间值，取x的一些值，列表如下:x-7-6-5-4-3-2-1y52032-232052【例2】求作函数yx2 4x 3的图象。【解】y x2 4x 3(x2 4x 3)(x 2)2 7(x 2)2 7 配方；(2)列表；(3)描点成图；也可利用图象的对称性，先画出函数的左(右)边部分图象，再利用对称性描出右(左)部分就可。一元二次函数性质【例3】求函数y x2 6x 9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。【解】y x2 6x 2 x2 6x 9 7 (x 3)2 7
13、由配方结果可知：顶点坐标为 (3, 7),对称轴为x 3;1 0.当 x 3时，ymin7函数在区间(，3上是减函数，在区间3,)上是增函数。【例4】求函数y 5x2 3x 1图象的顶点坐标、对称轴、最值。b 33 4ac b24 ( 5) 1 32292a 2 ( 5)10 4a4 ( 5)203 29函数图象的顶点坐标为 （一，），对称轴为x10 203当x 时，函数取得最大值10292029ymaz 203 一函数在区间（，一上是增函数，在区间3, 10）上是减函数。【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个:（1）配方法；如例3（2）公式法：适用于不容易配方题目（二次项系数为负数或分数）如例4,可避免出错。任何一个函数都可配方成如下形式:b 2 4ac b /y a(x )(a 0)2a 4a【二次函数题型总结】1.关于二次函数的概念例1如果函数y(m2m 3m 23)x mx1是二次函数，那么m的值为例2抛物线y2x 4的开口方向是2 .关于二次函数的性质及图
