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1、LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2014届本科毕业论文探讨蜂窝系统下中继站最优协调方案的数学模型院（系）名称数学科学学院专 业 名 称数学与应用数学学生姓名学号指导教师完 成 时 间摘要：本文主要讨论用最少的中继器来容纳在给定圆形区域内所有在线用户的问题,利用地理隔离与频段隔离的方法来阻止中继器间的信号干扰，使用连续编码音调控制系统技术扩充中继器的容量.首先建立以正六边形的中心为扩散起点的宏蜂窝结构模型，其次构造出亚音频率网络层结构来增加一个中继站能同时服务的在线用户的数量.最后计算出完全覆盖这个区域最少需要的中继站个数.同时，针对现实问题对模型进行了修正.关键词：宏蜂窝结
2、构模型；分级蜂窝结构模型；绕射损耗模型 1引言1.1中继站相关概念的含义中继站：中继站就是一部负责接收并转发无线电信号的电台.由于建筑物及地形等的遮挡，在地面上的两个电台之间的信号可能无法直接互相传送到，但这两个电台却都能够和这个中继站很好地通联，于是各个电台就通过中继站的转发覆盖到更广的通联范围，中继站帮助小功率设备扩大信号，把接收的信号放大后再发射出去，增强效果.中继站的接收与发射半径覆盖面大，通过中继站的转发，就可以解决普通站与站之间因距离而不能通联的制约.CTCSS(Continuous Tone Controlled Squelch System)连续语音控制静噪系统：俗称亚音频，是
3、一种将低于音频频率的频率(67Hz-250.3Hz)附加在音频信号中一起传输的技术.因其频率范围在标准音频以下，故称为亚音频.要是你的机子接收设置有亚音频，跟你通话的机子发射也加了相应的亚音频，那么当你接收到对方发送过来的信号，亚音频信号从专用芯片将分离出来后，经过滤波、整形，输入到CPU中，CPU会将外来的亚音频跟本机设置的亚音频对比，要是对应的话，CPU就会发出指令打开静噪，这样你就能听到对方的声音了.要是你的机子接收设置了亚音频，跟你通话的机子发射没有加亚相应的亚音频，或者加了，但亚音频不对应，这样你将不能听到他的声音.频宽：频宽在均衡器中，它指的是一个波段的宽度.频道：频道是信号在通信
4、系统中传输的通道，是信号从发射端传输到接收端所经过的传输媒质.1.2设置最少中继站个数的研究意义中继站是建立在运输线中途设立的转运站.在无线电通讯中，中继站是设置在发射点与接收点中间的工作站，它的建立具有重大的意义，它能够把接收的信号放大后再发射出去，增强效果.中继站的原理是将信号进行再生、放大处理后，再转发给下一个中继站，以确保传输信号的质量.所以，中继站又叫再生站.由于中继站的作用才使得微波通信将信号传送到几百公里甚至几千公里之外.如何设置中继站的位置，如何花费最小代价建立中继站而又满足尽可能多的用户，如何在山区引起的信号传播阻碍的地区仍能设置最少的中继器从而满足1000个用户在这个区域里
5、同时工作，这些实际问题具体重大的研究意义.2 基于蜂窝系统下中继站的最优协调方案模型的建立与求解2.1模型假设（1）第一、二问中该圆形区域为平原地带，不考虑房屋等人工建筑的阻挡作用和大气影响，且人口分布均匀.（2）在中继站覆盖范围内，用户信号都能被接收到.（3）每个中继站的覆盖半径及各种性能完全相同. （4）用户设备可以自动搜寻可用频率并可设定多档亚音频率.2.2符号说明: 圆形区域的半径.：中继站的覆盖半径.: 正六边形圈数.：一个中继站对应一个PL情况下的最大用户服务数.：中继站发出电磁波的波长.：第一菲涅尔区半径.：绕射常数.：离发射机距离为给定值上的第个菲涅耳半径.： 由于绕射损耗缩减
6、的中继站覆盖半径.2.3宏蜂窝模型的建立与求解我们知道，移动通讯设备的频宽为25-30KHZ这里我们取30KHZ由假设知频谱范围是145MHZ-148MHZ,且一个中继站的接收频率与发射频率至少应相差600KHZ.由此，我们可以计算出一个中继站对应一个PL情况下的最大用户服务数.当用户A给用户B打电话时，通信公司会给A两个频道，同时也给B两个频道.为了可以使更多的频道同时使用，并且同时满足条件，我们可以这样设置如下的频道：可用频率的长度为3000KHZ，频宽为30KHZ. 图1中所示的曲线框表示可用频率,现在可用频率的正中间描出一条长600KHZ的蓝紫色区域.这样，可用频率就被分成了三段.再将
7、左段和右段分成若干个30KHZ的小段，则左右两边共有80个小段.我们将左边的40个小段命名为低频小段，将右边的40个小段命名为高频小段.这样一来，任何一个高频小段都比任何一个低频小段高出至少600KHZ.图1 频率分布图查阅相关资料可知：在A和B通话时，通信公司给A分配的两个频道均为低频小段，给B分配的两个频道均为高频小段.也就是说，打电话的用户的发射和接收频率均是低频小段，而接电话的用户的发射和接收频率均是高频小段.这样一来，同一个中继站收到的任何一个频道都比其发射的任何一个频道要低600KHZ.所以，能同时使用的频道数量为80个.但是同时需要两个作为控制频道.因而，能同时分配给用户的频道数
8、为39对.也就是说.2.3.1选取正n边形覆盖方案的探讨所给范围为一个半径40英里的圆形区域，我们将服务区分为一个个子区，在每个小区的中心设一个中继站.中继站的覆盖范围是圆形，根据节点覆盖的圆盘模型，这个问题可以转化为：如何用几何图形来覆盖此圆形区域.如果用半径r的小圆无重叠的去覆盖半径40英里的大圆，则无论用多么小的半径为r的圆对此区域进行覆盖都不可能完成无重复无漏洞的覆盖，如下图2所示： 图 图2 圆形覆盖图所以问题的解决转化为用最少个数的正多边形完成重复最小的无漏洞覆盖.则如何拼接这些圆，至少需要多少个这样的圆才能完全覆盖图形是我们所需要解决的问题，所以考虑用同样大小的正n边形来进行覆盖
9、，在一个节点的周围分布了m个相同的正n边形的角，这些角的和恰好构成一个的周角，由此可得： . （1）可将算式进行进一步的化简得：. （2）由此可知：当n是2的整倍数时，满足题意的有： . （3） 当n不是2的整倍数时，满足题意的有： . （4）综上可知：采用正n边形来进行无遗漏覆盖只有以下三种情况(见图3)：正三边形覆盖正四边形覆盖正六边形覆盖 图3 正三、四、六边形覆盖图以下考虑采用哪种覆盖方式可以具有中心间距、覆盖率最大，而重叠面积最小的效果.中心间距就是两个相邻的小圆圆心的距离.覆盖率.重叠面积就是指两个相邻的小圆公共部分的面积.由此可得： 正三边形：, , （5） . 正四边形：, ,
10、 （6） . 正六边形：， , （7） .表1 三种覆盖方式的效果比较表正三边形正四边形正六边形正n边形所用个数3中心间距覆盖率41.35%63.66%82.70%重叠面积0.18121.07070.1812 根据表中的信息比较可知：采用正六边形的覆盖方式，可以达到正n边形所用个数最少、中心间距和重叠面积最小、覆盖率最大的无遗漏覆盖.也就是国际上通用的蜂窝结构.用半径为r圆，以它的内接正六边形对区域进行覆盖，可得到重复覆盖最少的无漏洞覆盖. 采用正六边形近似中继器覆盖圆域的合理性：用最小的小区数就能覆盖整个地理区域，最接近于全向的基站天线和自由空间传播的全向辐射模式.2.3.2正六边形覆盖方式
11、的探讨第一种覆盖方式：以正六边形的中心为扩散起点做蜂窝六边形结构，向外延伸覆盖（如图4所示）.图4 第一种覆盖方式第二种覆盖方式：以3个六边形的中心交点为扩散起点做蜂窝六边形结构，向外延伸覆盖（如图5所示）. 图5 第二种覆盖方式现在考虑两种覆盖方式的利用率，其公式为： . （8）经计算后得到结果所如表2示： 表2 两种覆盖方式的效果比较表圈数L第一种覆盖方式第二种覆盖方式 所建中继站 的个数n利用率 所建中继站 的个数n 利用率11100%340.32%2780.61%1270.54%31989.03%2780.53% 第一种覆盖方式较第二种来说，所需中继站的个数少，利用率高，故选择第一种方
12、式来进行覆盖.中继站的覆盖半径是由中继站的高度和发射机功率、馈线衰减天线增益、驻波比、太阳活动等决定的，经查资料知宏蜂窝小区的每小区的覆盖半径较大，为1km-25km.换算成英里为1-15.53461英里（1英里=1.609344km）即中继站的最大覆盖半径为15.5343英里.再用正六边形近似替代中继站信号覆盖的圆面积，建立蜂窝图形将整个区域覆盖住，从而设置最少的中继站使1000个用户同时通信.2.3.3（私人专线）的设置方案 由于相邻的两个中继站覆盖区域有重叠，并且当移动用户发射相同频率的信号时，中继站之间存在信号干扰.同时考虑每个中继站能够容纳的通讯信号的数量是有限的，为了避免干扰，以及
13、容纳更多的在线用户，解决方案通常是为每个中继站分配一个固定的“亚音”频率（PL）继站只响应附加了该亚音频率的通讯信号.在一个平面内，若每个中继站只回应接收到的具有一个特殊PL，只需要3个PL可以保证两个相邻的中继站之间使用相同的频率对(包括接收和发送)而两两不受干扰(如图6）. 图6 的覆盖图这样分布后，就使得区域上的中继站都不会产生干扰.2.3.4亚音频率网络层结构若想要满足1000名用户同时通信并且建立尽量少的中继站个数的需求，此时我们可以采取设置多层亚音频率的方案加以解决. 由假设可知：用户设备可以自动搜寻可用频率，并且可设定多档亚音频率.当某个亚音频率的中继站的39个容量被全部使用时，后进入此中继站覆盖范围的用户可将设备亚音频率调整至另一个尚未被完全使用的亚音频率层.在上面阐述的优化方案中, 设第i个亚音频率层需要个PL实际可知，一共有54PL可以进行使用，
