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1、专题08 函数的图像、函数与方程专题导航目录常考点01 函数图像的识辨1常考点02 函数图像的应用4常考点03 函数的零点与方程的根7常考点归纳常考点01 函数图像的识辨【典例1】1(2019年高考数学课标卷理科)函数在的图像大致为()ABCD2如图，长方形的边，是的中点，点沿着边，与运动，记将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为() ()【答案】1.B 2.B【解析】1.设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C又，排除选项A、D，故选B【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小选项范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查在解
2、决图象类问题时，我们时常关注的是对称性、奇偶性，特殊值，求导判断函数单调性，极限思想等方法。2.由已知得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即时，当时，；当点在边上运动时，即时，从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B考点：函数的图象和性质【考点总结与提高】寻找函数图像与解析式之间的6种对应关系从函数的定义域，判断图像的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图像的上下位置；从函数的单调性，判断图像的升降变化趋势；从函数的奇偶性，判断图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图像关于y轴对称，在对称的区间上单调性相反；从函数的
3、周期性，判断图像是否具有循环往复特点；从特殊点出发，排除不符合要求的选项，如f(0)的值，当x0时f(x)的正负等【变式演练1】1函数的图象大致为()2如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是 圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在0,上的图像大致为（ ） 【答案】1.D 2.C【解析】易知函数为偶函数，而，所以当时，；当时，所以函数在、上单调递增，在、上单调递减，故选D2.由题意知，当时，；当时，故选C常考点02 函数图像的应用【典例2】1(2018年高考数学课标卷（理）)已知函数，若存在个零点，则的取值范围是()A B C
4、D2(2021年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为_【答案】1.C 2.2【解析】1.由得，作出函数和的图象如图当直线的截距，即时，两个函数的图象都有2个交点，即函数存在2个零点，故实数的取值范围是，故选C2.由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2故答案为：2【考点总结与提高】1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质（单调
5、性、奇偶性、周期性、最值（值域）、零点）常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系。2.利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解.但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解。3.利用函数的图象研究方程的根当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数的图象与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象的交点的横坐标。【变式演练2】1.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.2.已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】1.D 2
6、.D【解析】1.函数有三个零点，等价于方程有三个不同实数根，进而等价于与图像有三个不同交点，作出的图像，则的正负会导致图像不同，且会影响的位置，所以按进行分类讨论，然后通过图像求出的范围为。（把文件另存为网页模式可以看到动态图）【名师点睛】（1）本题体现了三类问题之间的联系：即函数的零点方程的根函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。（2）本题所求在图像中扮演两个角色，一方面决定左侧图像直线的倾斜角，另一方面决定水平线的位置与轴的关系，所以在作图时要兼顾这两方面，进行数形结合。2.由图像可得：时，
7、时，所以所解不等式为：或，可得：，故选D常考点03 函数的零点与方程的根【典例3】1.(2018全国卷)函数在的零点个数为_2.（2019全国理11改编）关于函数在有_个零点.【答案】1.3 2.3【解析】1.由题意知，所以，所以，当时，；当时，；当时，均满足题意，所以函数在的零点个数为32.，则函数是偶函数，由得,得或，由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在上有3个零点【考点总结与提高】1.确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上。(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间上的图象是否连续，再看是否
8、有f(a)f(b)0。若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点。(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。2.判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质。(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。3.函数
9、零点的应用问题类型及解题思路(1)已知函数零点情况求参数。根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；解不等式，即得参数的取值范围。(2)已知函数零点的个数求参数，常利用数形结合法。【变式演练3】1.已知函数有唯一零点，则A B C D12.设函数，已知在有且仅有5个零点的取值范围是_.【答案】1.C 2.【解析】1.令，则方程有唯一解，设，则与有唯一交点，又，当且仅当时取得最小值2而，此时时取得最大值1，有唯一的交点，则选C2.当时，因为在有且仅有5个零点，所以，所以，【冲关突破训练】1.函数的图像可能是（ )【答案】B【解
10、析】观察解析式可判断出为奇函数，排除A,C. 当时，,故选B【名师点睛】有两点可以优先观察：一个是奇偶性，则图像具有对称性，只需考虑正半轴的情况即可；二是含有绝对值，可利用的符号去掉绝对值，进而得到正半轴的解析式。2.函数 的图像可能为（ ）【答案】D【解析】观察4个选项的图像，其中A，B图像关于轴对称，C,D图像关于原点中心对称。所以先判断函数奇偶性，可判断出所以为奇函数，排除A，B，再观察C,D的区别之一就是的符号，经过计算可得，所以排除C，故选D3.函数的图象大致为() 【答案】B【解析】因为，所以为奇函数，排除A；，排除D；因为，当时，函数单调递增，排除C故选B4.已知为的导函数，则的
11、图像是( )【答案】A【解析】，可判断为奇函数，图像关于原点中心对称，排除。因为，排除。故正确。【名师点睛】可优先判断出奇偶性，进而排除一些选项，对于选项而言，其不同之处有两点，一点是从处开始的符号，解析的思路也源于此，但需要代入特殊角进行判断，A选项的图中发现在轴正半轴中靠近轴的函数值小于零，从而选择最接近0的特殊角。5.函数在的图象大致为()【答案】D【解析】显然为奇函数，故排除A，当在轴右侧开始取值时，排除C，又，故选D6（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数，(a0，且a1)的图象可能是【答案】D【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象
12、过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.7.下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )A B C D【答案】B【解析】如图所示：在图、在每个区间上函数的单调性与对应的导数的符号是正确的，即单调增区间导数大于零，单调减区间上导数小于零；在中显示在区间上导函数的值为负值，而该区间上的函数图象显示不单调，二者不一致，所
13、以不正确；在图象显示在区间上导函数的值总为正数，而相应区间上的函数图象却显示为减函数，二者相矛盾，所以不正确.故选B. 8若函数fx=axaxa0且a1在R上为减函数，则函数y=logax1的图象可以是A B C D【答案】D【解析】由函数f（x）axax（a0且a1）在R上为减函数，得0a1函数yloga（|x|1）是偶函数，定义域为x1或x1，函数yloga（|x|1）的图象，x1时是把函数ylogax的图象向右平移1个单位得到的，综上，选D9.定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图像，再利用对称作出负半轴图像，当时，函数图象由两部分构成，分别作出各部分图像。的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点。观察图像可得有5个交点：关于对称，且满足方程即，解得：，关于轴对称，答案：B10.若函数的图象如图所示，则下列函数图象正确的是【答案】B【解析】由题图可知的图象过点(3,1)，则，即.A项，在上为减函数，错误；B项，符合；C项，在上为减函数，错误；D项，在(，0)上为减函数，错误故选B.11已知函数(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围【解析】（1）的定义域为，（）若，则，所以在单调递减（）若，
