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1、专题08 函数模型及函数的综合应用专题导航目录常考点01 二次函数模型的应用1常考点02 分段函数模型的应用3常考点03 指数、对数函数模型的应用5常考点04 函数模型的比较选择7常考点归纳常考点01 二次函数模型的应用【典例1】1加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A分钟 B分钟 C分钟 D分钟2.某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现:销售量r(x)(件)
2、与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系: r(x)=kx+b1,在销售淡季近似地符合函数关系: r(x)=kx+b2，其中k0且k，b1, b2为常数；在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；若称中r(x)=0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍。请根据上述信息，完成下面问题:写出销售旺季与淡季，销售总利润y(元)与标价x(元/件)的函数关系式。在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件?【答案】1B 2销售旺季(元)，销售淡季(元) (2)110元/件【解析】1.由题意可知过点（3，0
3、7），（4，08）（5，05），代入中可解得，当分钟时，可食用率最大2.销售旺季(元)，销售淡季(元) 在的表达式中，由k1,1+a1,所以=,=,因为，所以,即,解得,所以a的取值范围是,故选B.【名师点睛】题考查分段函数的解析式以及性质问题,属于中档题目.若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同,这种形式的函数叫分段函数.由题意可知自变量和的所属区间,代入解析式可求得与的函数表达式,将原不等式转化为关于a的一元二次不等式,求出解集即可.2.R(x)-(10+2.7x)= 当时，令=0，得x=9且当时，；当时，所以当x=9时，W取最大值，且Wmax=.当时,W=,当且仅当即时Wmax=38
4、综上所知，当x=9时，W取最大值为38.6.【名师点睛】本题第问主要是根据题设条件给出的函数去求，但要注意分段求解。第问主要是通过求导取得极值，最后再求得最值，但要以第问确定的函数定义域为根据。常考点03 指数、对数函数模型的应用1（2020山东6）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（）（ ）A天 B天 C
5、天 D天2(2021年高考全国甲卷理科)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为49，则其视力的小数记录法的数据为()()A15B12C08D06【答案】1.B 2.C【解析】1.因为，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天，故选：B2.由，当时，则故选：C【考点总结与提高】（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率
6、，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.【变式演练3】1基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln20.69)（ ）A1.2天B1.8天C2.7天D
7、3.6天2核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（ ）(参考数据：，)A0.369B0.415C0.585D0.631【答案】1.D 2.C【解析】1.把，代入，可得，当时，则，两边取对数得，解得故选：D2.由题意知，即，所以，解得.故选：C.常考点04 函数模型的比较选择1(2020年高考数学课标卷理科)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：C)的关系，在
8、20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10C至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A B C D2对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，下列函数模型中拟合较好的是（ ）ABCD【答案】1.D 2.D【解析】1.由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是故选：D2.如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项，故选：D【考点总结与提高】根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.【变式演练4】1如图记录了一种叫万年松的树生长时间(年)与树高之间的散点图.请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是ABCD2长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益每年洪水来临之际，为保证防洪需
