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1、* * 第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 要点 用逆解法、半逆解法求解平 面弹性力学问题。 * * *3-1 多项式解答 *3-2 位移分量的求出 *3-3 简支梁受均布载荷 *3-4 楔形体受重力和液体压力 3-5 级数式解答 3-6 简支梁受任意横向载荷 主 要 内 容 * * 3-1 多项式解答 适用性：由一些直线边界构成的弹性体。 目的： 考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y) ，能解决什么样的 力学问题。 逆解法 其中： a、b、c 为待定系数。 检验(x,y) 是否满足双调和方程： 显然(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。 （1） 1.
2、一次多项式 （2） （3）对应的应力分量： 若体力：X = Y =0，则有： * * 结论1： （1） （2） 一次多项式对应于无体力和无应力状态； 在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 2. 二次多项式 （1）其中： a、b、c 为待定系数。 (假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0) 检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有（2） (可作为应力函数 ) （3）由式（2-26）计算应力分量： x y 2c2c 2a 2a 结论2： 二次多项式对应于均匀应力分布。 x y * * x y 试求图示板的应力函数。例： x y 3. 三次多项式 （1）
3、其中: a、b、c 、d 为待定系数。 检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有（2） (可作为应力函数 ) (假定：X =Y = 0)（3）由式（2-26）计算应力分量： 结论3： 三次多项式对应于线性应力分布。 * * 讨论：可算得： x y 1 ll 图示梁对应的边界条件： M M 可见： 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。 常数 d 与弯矩 M 的关系： (1) 由梁端部的边界条件： (2) 可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。 * * x y 1 ll M M 说明： (1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性 分布，且中心处为零，结果才 是精确的。
4、 (2) 若按其它形式分布，如： 则此结果不精确，有误差； 但按圣维南原理，仅在两端误差较 大，离端部较远处误差较小。 (3) 当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大 。 4. 四次多项式 （1） 检验(x,y) 是否满足双调和方程（2） 代入： 得 * * 可见，对于函数： 其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数： （3）应力分量： 应力分量为 x、y 的二次函数。 （4）特例： （须满足：a + e =0） * * 总结：（多项式应力函数 的性质） （1） 多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 。 多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 。 多项式
5、次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。 （3） （4） 用多项式构造应力函数(x,y) 的方法 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。 按应力求解平面问题，其基本未知量为： ，本节说明 如何由 求出形变分量、位移分量？ 问题： * * 3-2 位移分量的求出 以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？ x y l 1 h M M1. 形变分量与位移分量 由前节可知，其应力分量为：
6、平面应力情况下的物理方程： （1）形变分量 (a) 将式（a）代入得： (b) （2）位移分量 将式（b）代入几何方程得： (c) * * （2）位移分量 (c) 将式（c）前两式积分，得： (d) 将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得： 式中：为待定函数。 整理得： （仅为 x 的函数）（仅为 y 的函数） 要使上式成立，须有 (e) 式中：为常数。积分上式，得 将上式代入式（d），得 (f) * * （1） (f) 讨论： 式中：u0、v0、 由位移边界条件确定。 当 x = x0 =常数 （2）位移分量 x y l 1 h M M u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。 说
7、明： 同一截面上的各铅垂 线段转角相同。 横截面保持平面 材力中“截面保持平面”的假设成立。 * * （2） 将下式中的第二式对 x 求二阶导数： 说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲 率相同。即 材料力学中挠曲线微分方程 * * 2. 位移边界条件的利用 （1）两端简支 (f) 其边界条件： 将其代入(f)式，有 将其代回(f)式，有 (3-3) 梁的挠曲线方程： 与材力中结果相同 * * （2）悬臂梁 (f) 边界条件 h/2 h/2 由式（f）可知，此边界条件无法满足。 边界条件改写为： （中点不动） （轴线在端部不转动） 代入式（f），有 可求得： * * (3-4) h/2 h/2 挠
8、曲线方程： 与材料力学中结果相同 说明： （1） 求位移的过程： （a）将应力分量代入物理方程 （b）再将应变分量代入几何方程 （c）再利用位移边界条件，确定常数。 * * （2）若为平面应变问题，则将材料常数E、作相应替换。 （3） 若取固定端边界条件为： h/2 h/2 （中点不动） (中点处竖向线段转角为零) 得到： 求得： 此结果与前面情形相同。 （为什么？） * * （1） (2-27) （2） 然后将 代入式（2-26）求出应力分量： 先由方程（2-27）求出应力函数： (2-26) （3）再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。 按应力求解平面问题的基本步骤： 按应力
9、求解平面问题的方法： 逆 解 法 （1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式； （2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待 定系数）； （3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数(x,y) 对 应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求 解什么问题。 * * （1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等） ， 假设部分应力分量 的某种函数形式 ； （2）根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求 出(x,y) 的形式； （3） 最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界
10、条件和 位移单值条件。 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。 半逆解法 位移分量求解： （1） 将已求得的应力分量 （2） （3） 代入物理方程，求得应变分量 将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量 表达式； 由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。 * * 3-3 简支梁受均布载荷 要点 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q 1. 应力函数的确定 (1) 分析： 主要由弯矩引起； 主要由剪力引起； 由 q 引起（挤压应力）。 又 q =常数，图示坐标系和几何对称，不随 x 变化。 推得： (2 ) 由应力分量表达式确定应力
11、函数 的形式： 积分得： (a ) (b ) 任意的待定函数 * * x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q (a ) (b ) 任意的待定函数 (3 ) 由 确定： 代入相容方程： * * 方程的特点： 关于 x 的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。 由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即： 对前两个方程积分： (c ) 此处略去了f1(y)中的常数项 对第三个方程得： 积分得： (d ) x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q * * (c) (d) (a ) (b ) 将(c) (d) 代入 (b) ，有 (e )
12、此处略去了f2(y)中的一次项和常数项 式中含有9个待定常数。 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q * * (e ) 2. 应力分量的确定 (f) (g ) (h ) 3. 对称条件与边界条件的应用 * * (f) (g ) (h ) 3. 对称条件与边界条件的应用 （1）对称条件的应用： 由 q 对称、几何对称： x 的偶函数 x 的奇函数 由此得： 要使上式对任意的 y 成立，须有： x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q * * （2）边界条件的应用： (a) 上下边界（主要边界）： 由此解得：代入应力公式 x y ll ql ql 1 y z h
13、/2 h/2 q * * ( i ) ( j ) ( k ) (b) 左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。） 难以满足，需借助于圣维南原理。 静力等效条件： 轴力 N = 0； 弯矩 M = 0； 剪力 Q = ql； x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q * * ( i ) ( j ) ( k ) 可见，这一条件自动满足。 * * (p) 截面上的应力分布： 三次抛物线 4. 与材料力学结果比较 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q * * 材力中几个参数： 截面宽：b=1 , 截面惯矩： 静矩： 弯矩： 剪力： 将其代入式 ( p )
14、 ，有 （3-6） x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q * * （3-6） 比较，得： （1）第一项与材力结果相同，为主要项 。 第二项为修正项。当 h / l1，该 项误差很小，可略；当 h / l较大时 ，须修正。 （2） 为梁各层纤维间的挤压应力，材力 中不考虑。 （3）与材力中相同 。 注意： 按式（3-6），梁的左右 边界存在水平面力： 说明式（3-6）在两端不 适用。 x y ll ql ql 1 y z h/2 h/2 q * * 解题步骤小结： （1） （2） （3） 根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规 律、对称性等），估计某个应力分
15、量（ ）的变化形 式。 由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应 力函数 的具体形式（具有待定函数）。 （4） （5） 将具有待定函数的应力函数 代入相容方程： 确 定 中的待定函数形式。 由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应 力分量 。 由边界条件确定 中的待定常数。 用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤： * * 应力函数法求解平面问题的基本步骤： （1） (2-27) （2）然后将 代入式（2-26）求出应力分量： 先由方程（2-27）求出应力函数： (2-26) （3）再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。 求解方法： 逆 解 法 （1）根据
16、问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式； （2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待定 系数）； （3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数(x,y) 对应 什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什 么问题。 * * 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。 （1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设部分应力分量 的某种函数形式 ； （2）根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求 出(x,y) 的形式； （3）最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和 位移单值条件。 半逆解法 位移分量求解： （1） 将已求得的应力分量 （2） （3） 代入物理方程，求得应变分量 将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量 表达式； 由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。 * * 附：应力函数确定的“材料力学方法” 要点： 利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个 应力分量的函数形式。 适用性：直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中 力、杆端集中力偶
