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1、第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6几种特殊类型滤波器简介 7.7滤波器分析设计工具FDATool 7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件、FIR 滤波器的幅度特性、零点分布特点和网络结构的特点。 1.线性相位条件 对于长度为N的h(n)，传输函数为： 式中，Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。这里Hg() 不同于|H(ej)|，Hg()为
2、的实函数，可能取负值，而 |H(ej)|为的正实函数。 (7.1.1) (7.1.2) H(ej)线性相位： ()是的线性函数，即： ()=-,为常数(7.1.3) 若()满足下式： ()=0-,0是起始相位(7.1.4) 也称这种情况为线性相位。 以上两种情况都满足群时延是一个常数，即 一般称：满足(7.1.3)式是第一类线性相位； 满足(7.1.4)式为第二类线性相位。 2.线性相位FIR的时域约束条件 线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足线性 相位时，对h(n)的约束条件。 1)第一类线性相位对h(n)的约束条件 相位函数()=，由式（7.1.1）和（7.1.2）得 到: （7.1
3、.5） (7.1.6) 将（7.1.6）式中两式相除得到： 即 移项并用三角公式化简得到: （7.1.7） 函数h(n)sin(n)关于求和区间的中心(N1)/2奇对称 ，是满足（7.1.7）式的一组解。 因为sin(n)关于n=奇对称，如果取=(N1)/2，则要 求h(n)关于(N1)/2偶对称，所以要求和h(n)满足如下条件: （7.1.8） 表7.1.1线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览 2)第二类线性相位对h(n)的约束条件 相位函数()=/2，由式（7.1.1）和（7.1.2）， 可得到: （7.1.9） 函数h(n)cos(n)关于求和区间的中心(N1)/2奇 对称，是满
4、足式（7.1.9）的一组解， 因为cos(n)关于n=偶对称，所以要求和h(n)满 足如下条件： （7.1.10） 2线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波器 的频域约束条件。 引入两个参数符号： 情况1：h(n)=h(Nn1),N为奇数。 将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和()=代入 式（7.1.1）和（7.1.2），得到: 所以 （7.1.11） 因为cos(n-)关于=0,2三点偶对称，所以由 式（7.1.11）可以看出，Hg()关于=0,2三点偶对称。 因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤 波器。 情况2：h(n)=h
5、(Nn1),N为偶数。 仿照情况1的推导方法得到: （7.1.12） 式中，。因为是偶数，所 以当时 而且cos(n)关于过零点奇对称，关于 =0和2偶对称。所以Hg()=0，Hg()关于=奇对 称，关于=0和2偶对称。因此，情况2不能实现高通 和带阻滤波器。 情况3：h(n)=h(Nn1)，N为奇数。 将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和()= /2代入式（7.1.1）和（7.1.2），并考虑 ，得到: 当=0，,2时， sin(n)=0, 且sin(n) 关于过零点奇对称 Hg()关于 =0,2三 点奇对称 情况3只能实现 带通滤波器 情况4：h(n)=h(Nn1),N为偶数。 用情况3
6、的推导过程可以得到: （7.1.13 ） N是偶数，=(N1)/2=N/21/2。所以，当=0,2时 ，sin(n)=0；当=时，sin(n)=(1)n N/2,为峰值点。而且sin(n)关于过零点=0和 2两点奇对称，关于峰值点=偶对称。因此Hg()关于 =0和2两点奇对称，关于=偶对称。由此可见，情况 4不能实现低通和带阻滤波器。 3.线性相位FIR滤波器零点分布特点 线性相位的系统函数满足： (7.1.21) “+”和“-”分别对应第一类和第二类线性相位。 一般情况： 线性相位FIR零点 分布的特点：互为 倒数的共轭对 图7.1.1线性相位FIR数字滤波器的零点分布 当然，也有 一些特殊
7、情 况，如图中 z1、z2和z4情 况。 7.2利用窗函数法设计FIR滤波器 7.2.1窗函数法设计原理 设计思想：从时域出发，设计h(n)，逼近hd(n)。 设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej)，hd(n)是与其对应 的单位脉冲响应，因此： 一旦Hd(ej)给定，就可得到hd(n)。 一般情况下，Hd(ej)逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而 hd(n)是无限时宽的，且是非因果的，为得到一有限长滤波器h(n)，最直接 的方法是截断hd(n)，即用一个窗口函数RN(n)对hd(n)进行加窗处理： h(n)=hd(n)RN(n)。 并保证截取的一段关于n=（N1）/2偶对称。 相应的单位
8、取样响应hd(n)为： (7.2.1) 它是一个无限长的非因果序列。波形如下图所示。 设理想低通滤波器的传输函数Hd(ej)为： (7.2.2) 实际设计的滤波器的单位脉冲响应为h(n)，长度为N ，其系统函数为H(z)， 用一个有限长的序 列h(n)去代替hd(n) ，肯定会引起误差 图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗 吉布斯（Gibbs）效应：用一个有限长的序列h(n)去代替 hd(n)会引起误差，表现在频域就是吉布斯效应。该效应引 起通带内和阻带内的波动性，尤其使阻带的衰减不足，从 而不能满足技术上的要求。 吉布斯效应是由于将hd(n)直接截断引起的，因此，也 称为截断效应。 图
9、7.2.2吉普斯效应 Hd(ej)是一个以2为周期的函数，可以展为傅里叶级数 ，即 傅里叶级数的系数为hd(n)，当然就是Hd(ej)对应的 单位脉冲响应。设计FIR滤波器就是根据要求找到N个傅 里叶级数系数h(n)，n=1,2,N1，以N项傅氏级数去 近似代替无限项傅氏级数，这样在一些频率不连续点附 近会引起较大误差，这种误差就是前面说的截断效应。 因此，从这一角度来说，窗函数法也称为傅氏级数法 。显然，选取傅氏级数的项数愈多，引起的误差就愈小， 但项数增多即h(n)长度增加，也使成本和滤波计算量加大 ，应在满足技术要求的条件下，尽量减小h(n)的长度。 （7.2.4） 根据傅里叶变换的时域
10、卷积定理，得到（7.2.3 ）式的傅里叶变换： （7.2.5） 第一过零点 内为主瓣 旁瓣 将Hd(ej)写成Hd(ej)=Hdg()ej，则按照（7.2.1）式 ，理想低通滤波器的幅度特性函数为 将Hd(ej)和WR(ej)代入（7.2.4）式，得到： 将H(ej)写成H(ej)=Hg()ej ，则 （7.2.6） 加窗后的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性Hdg()与 矩形窗幅度特性WRg()的卷积。 图7.2.3矩形窗加窗效应 当=c时，如(c)所示，当c 2/N时，积分近似为WRg()一半波 形的积分，对Hg(0)归一化后的值近 似为1/2 当=0时，Hg(0)等于图(a)与
11、(b)两波 形乘积的积分，相当于对WRg()在 c之间一段波形的积分，当 c2/N时，近似为之间波形的 积分 当=c2/N时，如(d)所示， WR()主瓣完全在区间c,c之 内，而最大的一个负旁瓣移到区间 c,c之外，因此Hg(c 2/N)有一个最大的正峰。 当=c+2/N时，如(e)所示， WRg()主瓣完全移到积分区间外边 ，由于最大的一个负旁瓣完全在区 间c,c内，因此 Hg(c+2/N)形成最大的负峰。 Hg()最大的正峰与最大的负峰对应 的频率相距4/N 对hd(n)加矩形窗处理后，Hg()与原理想低通Hdg() 的差别有以下两点： 在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽
12、度近似等于WRg()主瓣宽度4/N。 通带内产生了波纹，最大的峰值在c2/N处。阻带内 产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。通带与阻带中波 纹的情况与窗函数的幅度谱有关，WRg()旁瓣幅度的大 小直接影响Hg()波纹幅度的大小。 v 这两点就是对hd(n)截断后，在频域的反映，即吉布斯 效应。 如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的FIR滤波器呢？ 直观上，增加矩形窗口的宽度（即加大N）可以减少吉布斯效应 的影响。N时，在主瓣附近，WRg()近似为： 该函数的性质是： 随x (N)，主瓣幅度加高，同时旁瓣也加高，保持主瓣 和旁瓣幅度相对值不变；波动的频率加快，当x时，sinx/x 趋近
13、于函数，因此，当N加大时，H()的波动幅度没有多大 改善。 N加大带来的最大好处是过渡带变窄(过渡带:4/N)。 因此加大N并不是减少吉布斯效应的有效方法。 图7.2.4矩形窗函数长度的影响 所以有如下结论： v调整窗口长度N可以有效地控制过渡带的宽度。 v减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从窗函数的形状 上找解决方法。 为了消除吉布斯效应，取得较好的频率特性，一般采用其 它类型的窗口，这些窗口函数在靠近两端的h(n)逐步衰减到零 ，使窗口频谱的主瓣包含更多的能量。从而降低通带内的纹波 并加大阻带的衰减。 下面是几种常用的窗函数 1.矩形窗(RectangleWindow) 2.三角形窗(Ba
14、rtlettWindow) 3.汉宁(Hanning)窗-升余弦窗 4.哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗 5.布莱克曼(Blackman)窗 6.凯塞贝塞尔窗(Kaiser-BaselWindow) 7.2.2.几种常用的窗函数 （7.2.7） 为了描述方便，定义窗函数的几个参数: 旁瓣峰值n窗函数的幅频函数|Wg()|的最大旁瓣 的最大值相对主瓣最大值的衰减值（dB）； 过渡带宽度Bg用该窗函数设计的FIR数字滤波器（ FIRDF）的过渡带宽度； 阻带最小衰减s用该窗函数设计的FIRDF的阻带最 小衰减。 1矩形窗（RectangleWindow） wR(n)=RN(n) 其幅度函数为
15、 图7.2.4矩形窗函数长度的影响 2三角形窗（BartlettWindow） （7.2.8） 其频谱函数为 其幅度函数为 （7.2.10） 图7.2.5 三角窗的四种波形 主瓣 能量 更集 中， 但过 渡带 宽了 很多 3汉宁（Hanning）窗升余弦窗 （7.2.11） 当N1时，N1N 汉宁窗的幅度函数WHng()由三部分相加，旁瓣互相对 消，使能量更集中在主瓣中。汉宁窗的四种波形如图7.2.6 所示，参数为:n=31dB;Bg=8/N;s=44dB。 图7.2.6汉宁窗的四种波形 4哈明（Hamming）窗改进的升余弦窗 （7.2.12） 其频谱函数WHm(ej)为 其幅度函数WHmg
16、()为 当N时，其可近似表示为 图7.2.7哈明窗的四种波形 这种改进的 升余弦窗， 能量更加集 中在主瓣， 但其主瓣宽 度和汉宁窗 的相同 （7.2.13） 5布莱克曼（Blackman）窗 其频谱函数为 其幅度函数为 幅度函数由五部分组成，它们都是移位 不同，且幅度也不同的WRg()函数， 使旁瓣再进一步抵消。旁瓣峰值幅度进 一步增加，其幅度谱主瓣宽度是矩形窗 的3倍 图7.2.8 布莱克曼窗的四种波形 旁瓣进 一步减 小，但 过渡带 变宽 6凯塞贝塞尔窗（Kaiser-BaselWindow） 以上五种窗函数都称为参数固定窗函数，每种窗 函数的旁瓣幅度都是固定的。凯塞贝塞尔窗是一种 参数可调的窗函数，是一种最优窗函数。 （7.2.15 ） 式中 I0()是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算： 一般I0()取1525项，便可以满足精度要求。参数可以 控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小， 典型数据为49。当=5.44时，窗函数接近哈明窗。 =7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。在设计指标给定时 ，可以调整值，使滤波器阶数最低，所以其性能最优。 凯塞（Kaiser）
