12.3 角的平分线的性质 第 1 课时角平分线的性质 一、选择题 1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是（） ASAS BAAS CSSS DASA 2. 如图，12， PD OA ， PE OB ， 垂足分别为 D， E， 下列结论错误的是 （） A、PD PE B、OD OE C、DPO EPOD、PD OD 3. 如图，RtABC中，C =90，ABC的平分线 BD交 AC于 D ，若 CD =3cm ，则 点 D到 AB的距离 DE是（） A 5cm B4cm C3cm D2cm 4. 如图，ABC中，C90，AC BC ，AD平分 CAB 交 BC于 D ，DE AB于 E， 且 AB 6，则 DEB的周长为（） A. 4 B. 6 C. 10 D. 不能确定 2 1 D A P O E B 第 2 题图第 3 题图第 4 题图 5. 如图，OP平分， PAOA， PBOB，垂足分别为A，B下列结论中 不一定成立的是（） A. PAPB B.PO平分APB C. OAOB D. AB垂直平分 OP 6. 如图，AD是ABC 中BAC的平分线， DE AB于点 E，DF AC交 AC于点 F SABC=7，DE=2 ，AB=4 ，则 AC长是（） A4B3C6D5 D C A E B F E O DC A B 第 5 题图第 6 题图第 7 题图 7. 如图，AD是ABC的角平分线， DF AB ，垂足为 F，DE=DG ，ADG 和AED的 面积分别为 50 和 39，则 EDF的面积为（） A、11 B、5.5 C、7 D、3.5 8. 已知：如图， ABC中， C90 o，点 O为ABC的三条角平分线的交点， OD BC ，OE AC ，OF AB ，点 D、E、F 分别是 垂足，且 AB 10cm ，BC 8cm ，CA 6cm ，则点 O到三边 AB 、AC和 BC的距离分别等于（） （A）2cm 、2cm 、2cm （B）3cm 、3cm 、3cm （C）4cm 、4cm 、4cm （D）2cm 、3cm 、5cm 二、填空题 9如图，P是AOB 的角平分线上的一点， PC OA于点 C，PD OB于点 D，写出 图中一对相等的线段（只 需 写 出 一 对 即 可 ） . 10如图，在 ABC中， A90，BD平分 ABC ，AD 2 cm，则点 D到 BC的 距离为 _cm 11 . 如图， OP平分 MON ，PA ON于点 A，点 Q是射线 OM 上一个动点，若 PA=3 ， 则 PQ的最小值为 第 9 题图第 10 题图第 11 题图 12. 如图， 在 RtABC中， A=90 ， ABC的平分线 BD交 AC于点 D， AD=3 ， BC=10 ， 则BDC 的面积是 第 12 题图第 13 题图第 15 题图 13. 如图，在 RtABC中，C=90 ，若 BC=10 ，AD平分 BAC交 BC于点 D，且 BD ：CD=3 ：2，则点 D到线段 AB的距离为 14. 已知 ABC中，AD是角平分线， AB=5 ，AC=3 ，且 SADC=6，则 SABD= 15. 如图， AD是ABC的角平分线， DE AB ，DF AC ，垂足分别为点 E，F，连接 EF，则 EF与 AD的关系是 16. 通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的如图，P是 ABC的内角平分线的交点，已知P点到 AB边的距离为 1，ABC的周长为 10，则ABC的面积为 17. 如图，AD BC ，ABC 的角平分线 BP与BAD的角平分线 AP相交于点 P，作 PE AB于点 E若 PE=2 ，则两平行线 AD与 BC间的距离为 第 16 题图第 17 题图第 18 题图 18. 如图， ABC的三边 AB 、BC 、CA长分别为 40、50、60其三条角平分线交 于点 O ，则SABO：SBCO：SCAO = 三、解答题 19已知： AD是ABC 的角平分线， DE AB ，DF AC ，垂足分别是 E、F， BD CD ，求证： BC. A F C D E B 20. 如图，画 AOB=90 ，并画 AOB 的平分线 OC ，将三角尺的直角顶点落在 OC 的任意一点 P上， 使三角尺的两条直角边与AOB 的两边分别相交于点E、 F，试猜想 PE 、PF的大小关系，并说明理由 21. 如图， AB CD ，以点 A为圆心，小于 AC长为半径作圆弧，分别交AB ，AC于 E，F两点，再分别以 E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于 点 P，作射线 AP ，交 CD于点 M （1）若ACD= 114，求 MAB 的度数； （2）若 CN AM ，垂足为 N，求证： ACN MCN 22. 如图，已知 ABC中，AB=AC ，BE平分 ABC交 AC于 E，若A=90 ，那么 BC 、BA、AE三者之间有何关系？ 并加以证明 23. 如图， ABC中，D为 BC的中点， DE BC交BAC的平分线 AE于点 E， EF AB于 F，EG AG交 AC的延长线于 G求证： BF=CG 12.3 角的平分线的性质 第 1 课时 角的平分线的性质 一、选择题 1.C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.B 8.A 二、填空题 9.PC=PD（答案不唯一）10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 10 15. AD 垂直平分 EF 16.5 17. 4 18. 4：5：6 三、解答题 19证明： AD是ABC的角平分线， DE AB ，DF AC ， DE DF ， 在 RtDEB 与 RtDFC中，BD CD ，DE DF ， RtDEB RtDFC （HL ） ， BC 20. 解：PE=PF， 理由是：过点 P 作 PMOA，PNOB，垂足是 M，N， 则PME=PNF=90 ， OP 平分 AOB， PM=PN， AOB=PME=PNF=90 ， MPN=90 ， EPF=90 ， MPE=FPN， 在PEM 和PFN中 PEMPFN， PE=PF 21.（1）解： ABCD， ACD+CAB=18 0 ， 又 ACD=114 ， CAB=66 ， 由作法知，AM 是CAB 的平分线，MAB=CAB=33 （2）证明： AM 平分 CAB， CAM= MAB ， ABCD， MAB= CMA ， CAM= CMA ， 又CNAM ， ANC=MNC， 在ACN 和MCN 中， ， ACNMCN 22 . 解：BC、BA、AE 三者之间的关系 ：BC=BA+AE ，理由如下： 过 E 作 EDBC 交 BC 于点 D， BE 平分 ABC，BACA， AE=DE，EDC= A=BDE=90 ， 在 RtBAE 和 RtBDE 中 ， RtBAERtBDE（HL） ， BA=BD ， AB=AC ，A=90 C=45 ， CED=45 =C， DE=CD， AE=DE， AE=CD=DE， BC=BD+DC=BA+AE 23. 证明：连接 BE、EC， EDBC， D 为 BC 中点， BE=EC， EFAB EGAG， 且 AE 平分 FAG， FE=EG， 在 RtBFE 和 RtCGE 中， RtBFERtCGE （HL） ， BF=CG 第 2 课时角平分线的判定 基础巩固 一、填空题 1如图 1，在 ABC 中，C90 0，BC40，AD 是BAC 的平分线交 BC 于 D，且 DCDB35，则点 D 到 AB 的距离是。
3 题图 DCB A 图 1 图 2 2如图 2 所示，在 ABC 中， A90 ，BD 平分 ABC，AD2 cm，则点 D 到 BC 的距离为 _cm 3如图 3，已知 BD 是ABC 的内角平分线， CD 是ACB 的外角平分线 ，由 D 出发，作点 D 到 BC、AC 和 AB 的垂线 DE、DF 和 DG，垂足分别为 E、F、 G，则 DE、DF、DG 的关系是 图 3 图 4 4如图 4，已知 ABCD，O 为A、C 的角平分线的交点， OEAC 于 E， 且 OE=2，则两平行线间AB、CD 的距离等于 5已知 ABC 中， A=80 ， B 和C 的角平分线交于O 点，则 BOC= 二、选择题 6如图 5，在 ABC 中，AD 是 A 的外角平分线， P 是 AD 上异于 A 的任意 一点，设PBm，PCn，AB c， ACb ，则)(nm与)(cb的大小关系 是（） A、nmcbB、nmcb C、nmcbD、无法确定 选择第 4 题图 P DCB A 图 5 图 6 7已知 RtABC 中， C=90 ，AD 平分 BAC 交 BC 于 D，若 BC=32， 且 BD：CD=9：7，则 D 到 AB 边的距离为 ( ) A18 B16 C14 D12 8如图 6，AEBC 于 E，CA 为BAE 的角平分线， AD=AE ，连结 CD， 则下列结论不正确的是 ( ) A CD=CE B ACD=ACE C CDA =90 DBCD=ACD 9 在ABC 中， B=ACB， CD 是ACB 的角平分线，已知 ADC=105 ， 则A 的度数为 ( ) A40B36C70D60 10在以下结论中，不正确的是( ) A平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上 B角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等 C一个角只有一条角平分线 D角的平分线有时是直线，有时是线段 三、解答题 11如图 7 所示，AE 是BAC 的角平分线， EBAB 于 B，ECAC 于 C， D 是 AE 上一点，求证： BD=CD 。
图 7 图 8A B C D P O 图 9 12如图 8，BD=CD，BFAC 于 F，CEAB 于 E求证：点 D 在BAC 的角平分线上 13如图 9，AOP=BOP，ADOB 于 D，BCOA 于 C，AD 与 BC 交 于点 P求证： AP=BP 综合提高 一、填空题 14如图 10，已知相交直线 AB 和 CD，及另一直线 EF如果要在 EF 上找 出与 AB、CD 距离相等的点，方法是，这样的点 至少有个，最多有个 图 10 15已知DEFABC，AB=AC，且ABC 的周长为 23cm，BC=4 cm，则 DEF 的边中必有一条边等于 _ 16在ABC 中，C=90 ，BC=4CM，BAC 的平分线交 BC 于 D，且 BD DC=53，则 D 到 AB 的距离为 _ 17B=C=90，E 是 BC 的中点， DE 平分 ADC，CED=35 0 ，如图 11，则EAB 的度数是 18ABC 中，AB=AC ，B、C 的角平分线的交点为O，连结 AO，若 SAOB=6cm 2，则 S AOB= 二、选择题 19如图 12 所示，已知 ABC 中，C=90 ，AC=BC，AD 平分 CAB，交 BC 于点 D，DEAB 于点 E，且 AB=6 cm,则DEB 的周长为 ( )。
A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定 BC A B C D E 图 12 20下列命题中正确的是（） DC B A E 图 11 A全等三角形的高相等B全等三角形的中线相等 C全等三角形的角平分线相等D全等三角形对应角的平分线相等 21 如图 13， AOB 和一条定长线段 A， 在AOB 内找一点 P，使 P 到 OA、OB 的距离都等于A，做法 如下： （1）作 OB 的垂线 NH，使 NH=A，H 为垂足 （2） 过 N 作 NMOB （3）作 AOB 的平分线 OP，与 NM 交于 P（4） 点 P 即为所求 其中 （3） 的依据是（ ） A平行线之间的距离处处相等 B到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D到线段的两个端点距离相等的点段垂直平分 线上 22 如图 14， P是BAC 的平分线 AD 上一点， PEAB 。