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1、 高等数学教学改革思路研究与实践以南京航空航天大学为例 蒋建林，王璨璨（南京航空航天大学理学院，江苏南京）摘要：高等数学课程是理工科院校基础课程中的重中之重，其对创新型人才的培养具有重要作用。结合南京航空航天大学高等数学的教学现状，分析高等数学教学中存在的问题，并从四个方面提出高等数学改革思路：提高学生的学习兴趣；引导学生掌握数学思想；分层次安排教学；创设启发式教学情境。实践证明这些改革思路对于提高高等数学的教学质量是有效的。关键词：高等数学；学习兴趣；数学思想；启发式教学环境：（）高等数学是理工科院校低年级学生的一门重要基础课程，是理工科学生学好后续课程的工具课，而且高等数学在培养学生的各种
2、能力，包括逻辑推理能力、抽象思维能力、思想方法和知识结构的形成等方面都有着其它课程无可替代的作用与优势。然而，从笔者多年来的高等数学的教学实践以及学生的反馈信息来看，教师和学生作为教育的个主体普遍感觉到高等数学的教学中存在着一定的问题。所以深化高等数学教学改革，提高高等数学教学质量是当前高等数学教学活动中的一项重要任务。一目前高等数学教学中存在的问题我们以南京航空航天大学为例对高等数学教学中存在的问题进行说明。一方面，从教师主体的角度来看，教师认为高等数学难教，主要表现在学生缺乏学习的兴趣和主动性，学生的学习是一种被动接受的过程；另一方面，从学生主体的角度来看，很多学生认为高等数学教学内容繁杂
3、，理论性强，对于这一课程“为什么学”和“怎么学”几乎没有概念。这两方面的结果往往是高等数学教学质量不是很理想，每次期末考试成绩大概会有超过的不及格率。细细探究其原因，笔者认为主要有以下几个方面：（一）学生的学习兴趣和动机学生的学习兴趣不强以及动机不明确是高等数学教学中最为严重的问题。高等数学是一门基础课程，内容以理论为主，配以少量的相关例题。但是这些例题往往与学生的专业或实际问题没有直接关系。因此在学习过程中，教师经常遇到很多学生问同样的一个问题：高等数学这门课究竟有什么用？事实上，如果我们不能很好地回答这个问题，学生对学习这门课的原因和目的就会毫无概念，这将会导致其对高等数学的学习动机和兴趣
4、降低。（二）学生的学习方式由于高考竞争的压力以及高中数学知识点较少的特点，刚进入大学校园的新生依旧习惯于中学阶段学校和家长对其学习情况的实时监督，教师对各个知识点的深入指导，各种家教对知识点的巩固与提高。这些很大程度上导致了学生学习依赖性太强，缺乏自主性学习习惯。而高等数学中知识点相对于中学数学多得多，对于各个知识点教师不能面面俱到地都详细讲解，这将与他们已有的依赖性学习习惯有所不同，从而导致学生无所适从。（三）学生的思维方式中学数学的学习主要是题海模式，对同一个知识点进行大量的反复训练，最后达到对求解一类问题的思维直觉。这种学习“填鸭式”的教育方式导致学生在解题的过程中思维不够开阔，喜欢套用
5、以往的解题思路。但是高等数学中很多知识点不是通过被动接受教出来的，而是需要学生通过开放式的思维，自己慢慢体会和领悟的，比如数列极限的定义和函数极限的定义。（四）高等数学的教学内容中学时学生接触到的是相对直观的数学概念、较少的理论以及简单的计算；而高等数学的内容相对抽象，并且注重严谨的理论推导。与此同时，高等数学内容也很多，刚学过的知识学生可能还未完全理解，新的知识就又接踵而来，长此以往将会形成恶性循环，从而导致整个高等数学的学习如同一团乱麻，学生对高等数学的理解也只限于一些模糊的概念和定理，而没有形成系统和整体的认识。鉴于以上高等数学教学中存在的问题，深化高等数学教学改革、提高教学质量是当前高
6、等数学教学中的重要任务。多年来，我校高等数学教研组的各位老师就高等数学的教学内容、教学方法和教学手段等方面进行了一系列探索性改革，取得了不错的成绩。结合整个教研组在高等数学教学改革中取得的成绩，笔者在此讨论自己的一些改革思路与体会。二高等数学的改革思路与探索高等数学的改革应该是多方面的和立体式的，我们不能期望仅从某一方面努力就能全面提高高等数学的教学质量。归纳一下我校高等数学教研组的教学实践，高等数学的教学改革可以从如下方面进行。（一）多方面提高学生学习高等数学的兴趣和动机克莱因是世纪美国著名数学史家和数学教育家，他将激发学生数学学习兴趣作为数学课程的四大基本原理之一。他指出：“不论以何种方法
7、激发学生学习数学的兴趣，我们都必须为所教的数学提供动机和目的。”因此在高等数学的学习中，如果教师只是注重数学理论的严谨性和数学定理之间的推导，则会给学生造成一种“为了学数学而学数学”的错觉，使其失去学习数学的兴趣和动机。如果我们能做到如下几点，往往能够极大地增强学生对高等数学的学习兴趣。通过数学建模思想提高学习兴趣数学建模作为一种数学的思考方法，主要包括如下步骤：模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型营养和改进。因为高等数学很抽象，学生在学习过程中因为认识不到高等数学学习的意义而感到枯燥无味。但如果将其与一些与我们息息相关的经济社会生活中的问题通过数学建模联系起来，就能让学生感
8、觉到数学与实际生活是如此之近，从而极大地提高学生学习高等数学的学习兴趣，把高等数学学习中常见的“要我学”变成发自内心的“我要学”。数学建模应用于高等数学的教学中还能够极大地提高学生的分析推理能力和解决实际问题的能力。同时，数学建模没有标准答案，教师可以引导学生从不同的角度思考问题，通过不同的数学思路解决问题，提高学生的创新能力。适当引入数学史和数学故事提高学习兴趣在很多人眼中，数学就是一堆冷冰冰的定理累加、推导而形成的一门令人望而生畏的学科。事实上，数学是人类思维活动的集中体现，其每一个概念和定理背后，往往有其特定的文化背景和生动的故事。然而，在高等数学的教学活动中，我们往往只注重罗列定理和结
9、论，而将这些生动的背景和故事略去。但是正是这些看似不太重要的背景和故事往往能够提高学生的学习兴趣。比如，在讲授洛必达法则这一节的时候，我们可以提供给学生洛必达法则来源与归属问题的故事。当学生听完这则故事后，必定会对洛必达法则产生浓厚兴趣，并自然而然地想掌握这一求极限的重要方法。再比如，高等数学中经常提到?，如求定积分的公式，交错级数的?准则等。学生往往会感觉到有关的定理多而且分散，不太会主动去理解和记忆这些定理。在授课时，笔者首先对进行了一个简介，然后引出和笔者渊源的故事（笔者的博士生导师是在德国攻读的数学博士学位，经考证是笔者导师的师祖，同样是笔者的师祖），同时介绍和这两个大数学家与的师承关
10、系。在课堂教学中，适当地讲述一些定理背后的数学故事、数学史，并不是在浪费宝贵的授课时间。“磨刀不误砍柴工”，这些小故事往往会起到意想不到的教学效果。引导学生发现数学之美以提高学习兴趣克莱因说过：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学能提供以上一切。”我国著名数学家徐利治也指出：“数学教育与教学的目的之一，应当让学生获得对数学美的审美能力，从而既有利于激发他们对数学科学的爱好，也有助于增长他们的创造发明能力。”人们喜欢和向往美好的东西，“爱美之心，人皆有之”。如果我们在高等数学的教学活动中主动引导学生去发现和探索数学之美，让学生在
11、学习中体会到美感，这将极大提高学生对数学的审美能力，激发其学习兴趣，提高高等数学的教学效果。比如通过极限的定义发现数学的严谨美和简洁美；通过函数的泰勒级数和泰勒公式发现数学的和谐美；通过维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可导的函数感受数学的奇异美；通过定积分的第一类和第二类换元法感受数学的统一美；通过多元函数求导的链式法则感受数学的结构美等等。（二）引导学生掌握数学思想而不仅仅是数学方法数学方法和数学思想是数学的两个重要因素：数学思想是解决数学问题的精神实质和理论基础，是数学的灵魂和精髓；而数学方法则是解决数学问题的具体方法、手段，是数学思想的外在表现形式。数学方法很重要，具体的数学问题最后都
12、是归结到运用某种数学方法进行求解。但数学思想往往更重要，传统的数学教学往往只重视传授具体的理论和方法，而忽视挖掘其中所蕴涵的数学思想。事实上，掌握数学思想才能够使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值，高屋建瓴地用数学的思维去思考和解决问题。俗话说，“授之以鱼不如授之以渔”，在高等数学教学活动中，我们需要引导学生不断熟悉和掌握数学思想。在众多的数学思想中，除了前面谈到的解决实际问题的数学建模思想，我们还可以通过刘徽的割圆术及导数积分定义让学生掌握无限逼近的极限思想；通过连续函数零点定理及零点的求解让学生掌握二分法思想；通过拉微积分中值定理掌握构造法思想；通过函数的高阶导数以及函数幂级数展开的间接法
13、掌握化归思想；通过极限的和定义中任意给定的掌握辩证统一的唯物思想等等。（三）通过分层次教学提高教学质量随着我国高校招生规模的不断扩大，大学教育已经从最初的“精英教育”转化为目前的“大众教育”，随之而来的是学生生源质量变得参差不齐。如果对所有专业和所有学生都按照同一要求组织高等数学的教学，必将造成“好的学生吃不饱，差的学生吃不了”的困境，导致补考、重修率大幅上升。而分层次教学则是承认了不同专业和不同学生之间的数学差别，将学生分为不同层次的教学班，有区别地确定教学目标与教学要求、组织教学内容、控制教学进度、确立评估体系。分层次教学完美地体现了“学生为本，因材施教”的教育原则。分层次教学能够使得各层
14、学生学有所得，提高他们的学习兴趣和积极性，促进学生的自主性学习；同时，这种教学形式对不同层次的学生有较强的针对性，有利于安排教学活动，提高学习效率。（四）创设启发式教学情境培养学生自主学习方式和开放式思维方式问题是数学知识的心脏，数学的本质就是提出问题、分析问题并解决问题。因此高校教师在高等数学教学中要善于适时地创设启发式教学情境，设置启发式问题，鼓励学生应用多种数学思想与方法进行探索，并学会自己提出问题、分析问题和解决问题。当学生习惯于启发式的教学情境，他们的思维就会更主动、更积极，就会更有利于发现并解决问题，并在思考和解决问题的过程中逐步形成自主学习的学习方式和开放式思维方式。比如，在多元
15、函数条件极值中，高等数学教材往往只讨论等式约束的情形，此时我们可以适当引导学生思考不等式约束的极值问题。再如，等价无穷小代换要求代换项是函数因子而不是加减项，很多学生对这一要求的本质不理解。但是当泰勒公式内容讲授完后，我们可以引导学生分析等价无穷小代换与泰勒公式间的关系，就会很容易找到这一要求的原因。三改革思路的试验实践与分析为了验证上述教学改革思路的成效性，笔者选择了本校自动化学院级和级个高等数学班进行了教学试验。个班级的学生来自于同一学院，最大程度上保证了学生基础和学习能力的相似性；同时，两年的高等数学试卷无论从题型、难易程度还是知识点全面性等方面都具有一定的连续性。选用这个班级进行试验与比较，其结果更具客观性。对于前者笔者使用的是传统教学方式，而在后者的教学中笔者突出了上述改革思路，和（分层次教学已经被证明是行之有效的教学手段，而且因为两个班级是分层次后得到的班级，我们没有办法对改革思路进行试验）。表给出了个班级高等数学上册的期末考试成绩统计数据，括号中的数字表示班级中各种成绩的人数占班级总人数的百分比。从表可以看出，在两种不同的教学思路
