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1、备课资料 奇、偶函数的性质 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴 对称 . (2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立 . (3)f(-x)=f(x)f(x) 是偶函数， f(-x)=-f(x)f(x) 是奇函数 . (4)f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0. (5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数 . 奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零 )为偶函数， 奇偶性相反的两个函数的积(商、分 母不为零 )为奇函数；如果函数y=f(x) 和
2、y=g(x) 的奇偶性相同，那么复合函数y=fg(x)是 偶函数，如果函数y=f(x) 和 y=g(x) 的奇偶性相反，那么复合函数y=fg(x)是奇函数，简 称为 “ 同偶异奇 ”. (6)如果函数y=f(x) 是奇函数，那么f(x) 在区间 (a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；如果函数 y=f(x) 是偶函数，那么f(x) 在区间 (a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性. (7)定义域关于原点对称的任意函数f(x) 可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即 f(x)= 2 )()( 2 )()(xfxfxfxf . (8)若 f(x) 是(-a,a)(a0)上的奇函数，则f
3、(0)0； 若函数 f(x) 是偶函数，则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|). 若函数 y=f(x) 既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0. (设计者：韩双影) 本章复习 整体设计 教学分析 本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知 识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是 基础， 用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入， 环环相扣， 组成了一个完整的整体. 三维目标 通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、 探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴
4、趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 重点难点 教学重点：集合与函数的基本知识. 含有字母问题的研究. 抽象函数的理解. 教学难点：分类讨论的标准划分. 抽象函数的理解. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一 层，否则返工重建.我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题. 思路 2.为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 第一节是集合，分为几部分？ 第二节是函数，分为几部分？ 第三节是函数的基本性质，分为几部分？ 画出本章的知识结构图. 活动： 让学生自
5、己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可 以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学 生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后， 再画本章的知识结构图. 讨论结果 :分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分. 分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射. 分为：单调性、最值和奇偶性三部分. 第一章的知识结构图如图1-1 所示， 图 1-1 应用示例 思路 1 例 1 若 P=x|y=x 2,Q=(x,y)|y=x2,xR ，则必有 ( ) A.P Q=B.
6、PQC.P=QD.PQ 分析： 从选项来看， 本题是判断集合P, Q 的关系， 其关键是对集合P,Q 的意义的理解.集合 P 是函数 y=x 2 的定义域， 则集合 P 是数集， 集合 Q 是函数 y=x 2 的图象上的点组成的集合，则 集合 Q 是点集， PQ=. 答案： A 点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素. 形如集合 x|x P(x),xR是数集，形如集合(x,y)|x 、yP(x,y),x 、yR 是点集，数集和点 集的交集是空集. 变式训练 1.2007 山东威海一模， 文 1 设集合 M=x| x1 ，P=x| x 2-6x+9=0 ，
7、则下列关系中正确的是 ( ) A.M=P B.PM C.MP D.M P=R 分析： P=3 ， 31,3M.PM. 答案： B 2.2007 河南周口高三期末调研，理6 定义集合A 与 B 的运算A*B=x|x A 或 xB,且 xA B,则(A*B)*A等于 ( ) A.ABB.AB C.A D.B 分析： 设 A=1,2,3,4,B=1,2,5,6,7,则 A*B=3,4,5,6,7，于是 (A*B)*A=1,2,5,6,7=B. 答案： D 点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B的本质就是集 合 A 与 B 的并集中除去它们公共元素组成的集合. 例 2 求
8、函数 y=x 2+1 的最小值 . 分析： 思路一 :利用实数运算的性质x20 ，结合不等式的性质得函数的最小值； 思路二 :直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值. 解：方法一（观察法）函数y=x 2+1 的定义域是 R, 观察到x 2 0. x2+1 1. 函数 y=x2+1 的最小值是 1. 方法二 :（公式法）函数y=x 2+1 是二次函数，其定义域是 xR，则函数y=x 2+1 的最小值是 f(0)=1. 点评：求函数最值的方法： 观察法：当函数的解析式中仅含有x2或|x|或x时，通常利用常见的结论x 2 0,|x| 0,x0 等，直接观察写出函数的最值； 公式法：求基本初等
9、函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函 数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值. 例 3 求函数 y= 4 3 2 x x 的最大值和最小值. 分析： 把变量 y 看成常数， 则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x 的方程， 利用判 别式的符号得关于y 的不等式，解不等式得y 的取值范围，从而得函数的最值. 解： （判别式法）由y= 4 3 2 x x 得 yx2-3x+4y=0 ， xR，关于 x 的方程 yx 2-3x+4y=0 必有实数根 . 当 y=0 时，则 x=0.故 y=0 是一个函数值； 当 y0 时，则关于x 的方程 yx 2-3x+4y=0
10、 是一元二次方程 , 则有 =( -3) 2-4 4y2 0. 0y 2 16 9 . 4 3 y0 或 0y 4 3 . 综上所得， 4 3 y 4 3 . 函数 y= 4 3 2 x x 的最小值是 4 3 ，最大值是 4 3 . 点评：形如函数y= fcxdx cbxax 2 2 (d 0)，当函数的定义域是R（此时 e 2-4df0 ）时，常用判 别式法求最值，其步骤是把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式 mx 2+nx+k=0 ；分类讨论 m0 是否符合题意；当m 0时，关于x 的方程 mx 2+nx+k=0 中有 xR，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk0
11、即关于 y 的不等式，解不等式组 . 0 ,04 2 m mkn 此不等式组的解集与中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大 值和最小值 . 例 42007 河南开封一模，文10 函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间（ -，1）上有最小值，则函数 g(x)= x xf)( 在区间（ 1，+）上一定 ( ) A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数 分析： 函数 f(x)=x 2-2ax+a 的对称轴是直线 x=a，由于函数f(x)在开区间（ - ，1）上有最小 值，所以直线x=a 位于区间（ - ，1）内，即 a1.g(x) x xf)( =2 x a x，下面用定义法判 断
12、函数 g(x)在区间（ 1，+）上的单调性 . 设 1x1x2，则 g(x1)-g(x2)=(x1+ 1 x a -2)-(x2+ 2 x a -2) =(x1-x2)+( 1 x a 2 x a )=(x1-x2)(1 21x x a )=(x1-x2) 21 21 xx axx . 1x1x2， x1-x210. 又 aa.x1x2-a0. g(x1)-g(x2)0.g(x1)2p-1，解得 p2. 当 B时，则有 .512 ,21 , 121 p p pp 解得 2p3. 综上所得实数p 的取值范围是p2 或 2p3,即(-,3 . 点评： 本题是已知集合运算的结果，求参数的值， 解决此
13、类问题的关键是依据集合运算的含 义，观察明确各集合中的元素，要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作用； 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，求解有关集合间的关系问题时一定要首先考虑 空集； 要重视常见结论AB=BAB=ABA 的应用， 此时通常要分类讨论解决集合问题， 分类讨论时要考虑全面，做到不重不漏. 例 2 求函数 y=|x+2|-|x-2|的最小值 . 分析： 思路一 :画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值； 思路二 :利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到 2 两点的距离和的最 小值 . 解：方法一（图象法）:y=|x+2|-|x-
14、2|= .2,4 ,22,2 ,2,4 x xx x -4,2x,4, x -2,-2x0 ，求证： f(x) 在(-1， 1)上是减函数 . 分析： （1）定义法证明，利用赋值法获得f(0) 的值进而取x=-y 是解题关键； （2）定义法证 明，其中判定 21 12 1xx xx 的范围是关键. 解：(1)函数 f(x) 的定义域是 (-1，1)， 由 f(x)+f(y)=f( xy yx 1 )，令 x=y=0,得 f(0)+f(0)=f( 01 00 )， f(0)=0. 令 y=-x, 得 f(x)+f(-x)=f( 2 1x xx )=f(0)=0, f(-x)=-f(x). f(x
15、) 为奇函数 . (2)先证 f(x) 在(0，1)上单调递减，令0 x1x21,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f( 21 21 1xx xx )f( 21 12 1xx xx ). 0 x1x20,1-x1x20， 21 12 1xx xx 0. 又(x2-x1)-(1-x1x2)=(x2-1)(x1+1)0， 0 x2-x11-x1x2. -1 21 12 1xx xx 0.由题意知f( 21 12 1xx xx )0， f(x 1)f(x2). f(x) 在(0，1)上为减函数， 又 f(x) 为奇函数， f(x) 在(-1，1)上也是减函数 . 点评： 对于抽象
16、函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义 法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托 定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性， 知能训练 1.2006 陕西高考，文1 已知集合P=x N|1 x 10,集合 Q=x R|x 2+x-6=0, 则 P Q 等于 ( ) A.1,2,3 B.2,3 C.1,2 D.2 分析： 明确集合 P、Q 的运算， 依据交集的定义求P=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，Q=-3,2, 则 PQ 2. 答案： D 点评： 解决本题关键是集合P 是大于等于1 且小于等于10 的自然数组成的集合，集合 Q 是 方程 x 2+x-6=0 的解集，将这两个集合化简后再运算 . 2.2006 安徽高考，文1 设全集U=1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合S=1,3,5 ，T=3,6 ，则(S T) 等于 ( ) A.B.2,4,7,8 C.1,3,5,6 D.2,4,6,8 分析： 直接观察（或画出Venn 图）得 ST=1,3,5,6 ，则(S T)2,4,7,8. 答案：
