《2021高考一轮复习：7.6空间向量在立体几何中的应用达标训练（配套）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021高考一轮复习：7.6空间向量在立体几何中的应用达标训练（配套）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.6 空间向量在立体几何中的应用一、选择题1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为()A.BC. D.2设平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4，k)若，则k()A2 B4 C4 D23(多选题)若平面，互相垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是()An1(1，2，1)，n2(3，1，1)Bn1(1，1，2)，n2(2，1，1)Cn1(1，1，1)，n2(1，2，1)Dn1(1，2，1)，n2(0，2，2)4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，ADAA12，点P为CC1的中点，则异面直线AP与
2、C1D1所成角的正切值为()A. B. C. D.5如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，A1D1的中点分别为E，F，则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为()A. B. C. D.6已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A45 B135C45或135 D907如图，过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是()A30 B45 C60 D908如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为()A. B.
3、C2 D.9. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A. BC. D.二、填空题10如图，直角三角形OAC所在平面与平面交于OC，平面OAC平面，OAC为直角，OC4，B为OC的中点，且ABC，平面内一动点P满足PAB，则的取值范围是_11. 如图，已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是等腰梯形，ABCD，且ACBD，AC与BD交于O，PO底面ABCD，PO2，AB2，E，F分别是AB，AP的中点，则二面角F OE A的余弦值为_三、解答题12(2020届重庆一中高三上学期摸底)如图，在四棱锥P
4、ABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60.点O为AD的中点，APD90且ADPB.(1)求证：OB平面PAD.(2)若ADPB，求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值13(2020届河北承德一中9月月考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，ABCD，ABAD，ABAD2CD2，ADP为等边三角形(1)当PB的长为多少时，平面PAD平面ABCD？试说明理由(2)若二面角PADB的大小为150，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值参考答案1C解析：建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0，0,2)，N(1,0,0)，(1，1
5、，2)，(1,0，2)，B1M与D1N所成角的余弦值为.2C解析：因为，所以，所以k4.故选C.3AC解析：两个平面垂直时其法向量也垂直，选项AC中的两个向量垂直故选AC.4A解析：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，P(0，4，1)，C1(0，4，2)，D1(0，0，2)，(2，4，1)，(0，4，0)设异面直线AP与C1D1所成角为，则cos ，sin ，则tan ，异面直线AP与C1D1所成角的正切值为.故选A.5C解析：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直
6、角坐标系(图略)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则E(2，1，0)，F(1，0，2)，所以(1，1，2)，取平面AA1D1D的法向量为n(0，1，0)设直线EF与平面AA1D1D所成角为，则sin |cos，n|，所以直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为.故选C.6C解析：cosm，n，即m，n45，两平面所成的二面角为45或18045135.7B解析：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ABADAP1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，(1，0，0)，(0，0
7、，1)，(1，0，0)，(0，1，1)设平面CDP的法向量为n(x，y，z)，则取y1，得n(0，1，1)平面ABP的一个法向量为m(0，1，0)，cosm，n，所求锐二面角为45.故选B.8A解析：分别以CA，CB，CC1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)设ADa，则点D的坐标为(1，0，a)(1，0，a)，(0，2，2)设平面B1CD的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得n(a，1，1)又平面C1DC的一个法向量为m(0，1，0)，cos 60，即.解得a.故选A.9A解析：设正三棱柱的棱长为2，
8、取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B1，F(1,0,1)，E，G(0,0,2)，(1,0，1)设平面GEF的法向量n(x，y，z)，则即取x1，则z1，y，故n为平面GEF的一个法向量，所以cosn，所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.100，)解析：如图，在RtOAC中，过A点作OC边上的高AD交OC于D.RtOAC所在平面与平面交于OC，平面OAC平面，AD平面.在平面内过D点作OC边的垂线DF，ADDC，ADDF，DFDC，以D为原点，DF所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DA所在直线为z轴，建立空间直
9、角坐标系，如图所示OAC为直角，OC4，B为OC的中点，且ABC，BC2，DB1，DO1，DA，P(x，y，0)，D(0，0，0)，A(0，0，)，B(0，1，0)，C(0，3，0)，O(0，1，0)，(x，y1，0)，(x，y3，0)，(x，y，)，(0，1，)又PAB，则cosPAB，即，化简即可得到x26y6.x20，则6y60，y1，(x，y1，0)(x，y3，0)x2(y1)(y3)x2y22y3，把x26y6代入即可得到y24y3，当y1时，y24y3的取值范围为0，)，的取值范围是0，)11.解析：以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直
10、角坐标系Oxyz，由题知，OAOB2，则A(0，2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，E(1，1,0)，F(0，1,1)，(1，1,0)，(0，1,1)，设平面OEF的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，可得m(1,1,1)易知平面OAE的一个法向量为n(0,0,1)，则cosm，n.由图知二面角FOEA为锐角，所以二面角FOEA的余弦值为.答案：12(1)证明：连接OP，BD.因为底面ABCD为菱形，BAD60，故ADABBD.又O为AD的中点，故OBAD.在APD中，APD90，O为AD的中点，所以POADAO.设ADPB2a，则OBa，POOAa.因为PO2OB2a23a24a
11、2PB2，所以OBOP. 又因为OPADO，OP平面PAD，AD平面PAD，所以OB平面PAD.(2)解：因为ADPB，ADOB，OBPBB，PB平面POB，OB平面POB，所以AD平面POB.又PO平面POB，所以POAD.由(1)得OB平面PAD，又OP平面PAD，故有OPOB.又因为ADOB，所以OA，OB，OP所在的直线两两互相垂直故以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图设AD2，则A(1，0，0)，D(1，0，0)，B(0，0)，P(0，0，1)所以(0，1)，(2，0，0)，(0，0)由(1)知OB平面PAD，故可以取与平行的向量n
12、(0，1，0)作为平面PAD的法向量设平面PBC的法向量为m(x，y，z)，则令y1，所以m(0，1，)设平面PBC与平面PAD所成二面角为，则|cos |cosm，n|，则sin ，所以平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为.13解：(1)当PB2时，平面PAD平面ABCD.证明如下：在PAB中，因为ABPA2，PB2，所以ABPA. 又ABAD，ADPAA，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.(2)分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，因为ADP为等边三角形，O为AD的中点，所以POAD.因为O，E为AD，BC的中点，所以OEAB.又ABAD，所以OEAD，故POE为二面角PADB的平面角，所以POE150.如图，分别以，的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，因为OP，POE150，所以P，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(1，1，0)所以(0，2，0)，.设n(x，y，z)为平面PBC的法向量，则有n0，n0，即令x1，可得n(1，2，4)设AB与平面PBC所成角为，则有sin .所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.第11页
