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1、“RLC串联谐振电路的稳态性研究”预习报告【实验目的】1.了解电感和电容的电学特性；2.深入理解RLC串联谐振电路的特性；3.掌握用示波器观察和测量稳态信号的方法。【实验器材】数字示波器、函数信号发生器、九孔电路实验板、电路元件（电阻、电容、电感、导线等）、数字多用表。【实验原理】1.电感器和电容器(1)电感器 电感线圈通电会产生一个磁场，如果电流改变，由楞次定律，在线圈两端会产生一个感生电动势。理想电感器的伏安特性可表示为：ut=Ltt ,其中()表示线圈两端的电压，()为流过线圈的电流，常数L称为电感，单位为亨利， 简称亨(H)。电感储存的磁场能为EL=u=12L2. 实际电感器应该考虑导
2、线的电阻、磁心介质的饱和与磁滞。导线的电阻会引起能量耗散，分析时可以用等效串联电阻来描述。而磁介质的饱和与磁滞具有非线性特征，导致波形畸变：当()为正弦波时，()并不是正弦波。如果电流频率较高，还需要考虑电流的趋肤效应以及相邻导线圈之间的分布电容。这些非理想因素会导致电路的行为(特别是高频特性)偏离固定参数的线性模型。因此，当电流的幅值足够小，非线性效应可以忽略时，实际的电容器可等效为理想电感器与电阻的串联，而理想电感器的电感量与等效串联电阻的阻值都与频率有关。(2)电容器典型的电容器由两个金属电极板和填充其间的电介质构成。电容的定义为qt=Cut,其中()表示电容器存储的电荷，()表示电容器
3、两端的电压，常数C称为电容，单位为法拉第，简称法(F)。对上式求时间导数，就得到理想电容器的伏安特性：t=Cutt ,其中i(t)表示流进电容器的电流。电容器存储的电场能为EC=Qu=12Cu2 .实际电容器则可能包括寄生电感、电阻、介质损耗、温度效应等非理想特性。2.RLC串联谐振电路 1个电容和1个电感串联即可以构成振荡电路。由于实际元件不可避免存在的电阻，我们考虑RLC串联谐振电路（见下图）。设交流电源的输出电压为ut=u0sint，电容两端的电压为uCt则电路中的电流：t=CuCtt电阻两端的电压：uRt=Rit=RuCtt电感两端的电压：uLt=Litt=LC2utt2由基尔霍夫定律
4、，有uLt+uRt+uCt=ut代入上式得：LC2utt2+RLuCtt+uCt=u0sint 该方程与受迫振动方程有相同形式，可改写为：1022t2uct+1Q0tuct+uCt=u0sint其中0=1LC为固有频率，Q=1RLC称为品质因数，简称Q值。方程的稳态解为： 其中： A和分别称为电路的幅-频特性和相-频特性，统称为电路的频率特性，其特点是： (1)当0时，A0，2；当时，A0，-2； (2)当=0时，A0=1达到极大值，0=0，电路达到谐振； (3)当=1,2=1+14Q212Q0时，A1,2=12，1,2=4. 1-2=0Q称为带宽。 当=0时，uLt=-uCt=Qu0cos0
5、t，幅度是输入信号幅度的Q倍.如果Q很大，即便输入信号幅度不大，谐振时电容和电感 上的电压可能很高，因此 RLC 串联谐振也称为电压谐振。在实际应用中，既可以利用电 压谐振来放大特定频率的信号，也需要考虑它可能对元件造成的损害。此外，电路储存的电磁能不随时间改变：E=ELt+ELt=12Cuc2t+12LC2uC2t=12CQ2u02一个周期内电阻消耗的能量为：ER=1R020u02sin20tt=u02R0=CQu02=2QE所以有：Q=2系统储存的能量一个振动周期内消耗的能量总之，品质因数Q反映了系统的以下特性：(1)谐振时的放大倍数；(2)频率特性曲线中谐振峰的宽度(或者频率选择性的好坏
6、)；(3)能量耗散的快慢。【实验步骤】1.按下图所示在九孔电路实验板上搭建电路.2.测量谐振频率. 利用0=0可以准确地判断谐振（测量电路见下图）。 将输入信号和电阻上的电压信号分别输入示波器的两个通道，调节信号发生器的频率，可以看到两个信号的相位差随之改变。当相位差为零时，信号发生器的输出频率即为谐振频率。示波器用XY方式可以方便判断两个正弦信号是否同相位(见下图)。3.测量品质因数Q. 达到谐振频率以后，测量电容上的电压振幅和输入信号的振幅，二者之比即为品质因数Q。 不过由于示波器两路输入信号需要共地(共同的电压参考点)，此时需要将图 5 中电容和电阻的位置互换。测量电压的幅度，可以光标手
7、动测量，也可以用示波器自动测量。自动测量可以选择峰-峰值，也可以选用周期均方根值(周期RMS)。如果测量周期均方根值，应调节示波器的扫描时间，使得屏幕中的信号至少有一个完整的周期。由于示波器的垂直分辨率较低，为了减小为误差，需要调节垂直灵敏度，使在信号不超出屏幕范围的前提下被尽量放大。注意电感器存在较大的电阻，在计算品质因数的理论值时不能忽略。如果谐振频率不是很高，可以将电感器简化为理想电感与一个定值电阻的串联(这个假设是否合理需要根据具体测量结果)。用多用表测出电感器的直流电阻RL ,计算时采用电路的等效电阻:Req=R+RL4.测量频率特性.测量电路同图5.对于给定的频率，需要测量电阻两端
8、电压与信号源输出电压的幅度比 = /0以及这两个信号的相位差。考虑到电感器的电阻，为了和理论模型比较，幅度比应做如下修正：A=R+RLRA需要注意的是，由于信号发生器一般有50的内阻，而且实验电路的阻抗与频率有关，如果设定信号发生器输出幅度值不变，u0实际会随频率不同而改变。因此每个频率点都需要测量u0和。由于只关心它们的比值，可以测量信号的峰峰值或周期RMS。当然也可以在每个频率都调节信号发生器输出幅度，使u0保持不变。相位差的测量可以采用手动光标测量，也可以自动测量。光标测量的方法是(参照下图)：将两个正弦信号的零点调至屏幕水平中线，用竖直光标测出它们的周期T以及同相位点的时间差T (超前
9、为正，延迟为负)，然后按照下式计算它们的相位差：=TT360.建议实验中至少在1个频率点用手动测量相位差，并与自动测量的结果比较。改变信号发生器的输出频率，在每个频率点重复上述测量，完成电路频率特性的测量。需要说明的是，测量频率只需要使得Q0-0的范围足够大，比如取到10到10之间，就可以了。如果频率过高，电感器有可能存在很大的非理想特性，使得结果与理想模型有明显区别。【预习思考题】1.保持L和C而增大R，电路的谐振频率与品质因数如何改变？答：保持L和C不变而增大R,由公式=0=1LC知电路的谐振频率不变；由公式Q=1RLC知品质因数Q变小。2.对于RLC串联谐振的频率响应曲线，当频率取对数坐
10、标时，证明幅频特性曲线关于=0是对称的，而相频特性曲线是反对称的。证明：已知公式 当取对数坐标时，横坐标为ln0令t=ln0，则 0=t，0=-t则A=At=11+Q2-t-t2=11+Q2-2t+2t-2且=t=arctanQ-t-t易知A-t=11+Q22t+-2t-2=AtAt关于t=0对称，此时t=ln0=0，即=0A是关于=0对称的另：易得-t=arctanQt-t=-arctanQ-t-t=-tt是关于t=0反对称的，此时t=ln0=0，即=0是关于=0反对称的证毕.3. 如果Q1,如何理解谐振时电容上的电压远高于电路的输入电压？答：电路中电抗越大，电阻越小，品质因数就越大。串联谐
11、振时，感抗=容抗，但符号相反，对电流阻碍作用抵消，所以此时总阻抗最小，电流最大，这时候电阻上电压有效值=电流电阻值=电源电压；而感抗和容抗又是不变的，电容或电感上的电压=容抗或感抗电流，此时电感和电容上的电压会非常大，远高于输入电压。4.在谐振状态，能否用电感器上的电压与输入电压的幅度比计算品质因数？答：可以。因为谐振时，uLt=-uCt=Qu0cos0t，电感器上的电压幅度是输入信号幅度的Q倍。5.实验中能否根据电阻上的电压达到最大值判断电路达到谐振？答：能。因为电路谐振时， A0达到极大值，由utu0=Asint+ 知此时电阻的电压达到最大值。6.实验中如何判断电路是否有明显的非线性？答：在电路中接入具有周期性的电源，将电路的t和ut分别接入示波器，观察到波形畸变：当t为正弦波时，ut并不是正弦波。
