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1、基于Mtla 的发动机悬置系统的固有频率和主振型计算（二) 3 运用MATAB 对动力总成悬置系统固有特性的计算 3.1 理论计算 动力总成系统固有特性的计算, 即计算系统的固有频率和振型。动力总成悬置系统无阻尼的自由振动微分方程： 式中: M对称正定惯性矩阵; K对称正定刚度矩阵。 求多自由度振动系统的固有频率, 从数学上讲就是求特征值的问题: 设式(13） 的解为:X=sin（t+a） 代入式(1） 化简后得： X=2M 左乘M- 得: 1=X(14) 令M 1=A， 则: AX=X（15) 2 即为A 阵的特征值, X 为其特征向量。 由于M 对称正定, K 也是对称阵， 因而式(13）
2、是广义特征值问题。可用广义特征值的方法求得特征值及特征向量， 所求特征值即为系统的固有频率。 3.2 MTLAB 计算过程 Matlab 是Matrx Labar (矩阵实验室）的缩写, 它是由美国Matork 公司于167 年推出的软件包,已发展为一种功能强大的计算机语言, 特别适合于科学与工程计算。 (1) 将动力总成系统质量参数代入式(6） 可得惯性矩阵M。 （） 将各悬置点的位置参数及悬置块的主刚度代入，可得iBiDi。再根据式（2）求得总体的刚度矩阵K。 () 编制Mtlab程序, 由上述（）、(2)得到矩阵, K， 由式(1）、(15)即可求得。 () 由式(15）, 通过Matl
3、ab 命令eig （A）,即可求出矩阵A 的特征值。利用公式2=f,即可得到悬置系统的各个振动固有频率f。 振动占优方向的判定 在系统定坐标系中,根据系统的质量矩阵 及振型矩阵， 可以求出系统在做各阶主振动时的能量分布, 将它写成矩阵形式, 定义为能量分布矩阵EGj。当系统以第j阶固有频率振动时，此矩阵的（k, j） 元素为： 式中: Ml质量矩阵的（k， j）元素; ( )k第阶振型列阵的第k 个元素； u( )第j阶振型列阵的第l 个元素; j为第j阶固有频率。 根据此矩阵各行元素值总和的大小便可以判别出在系统以第阶固有频率振动时的占优方向。 在确定了系统的固有频率和固有振型以及相应的振动
4、占优方向后,便可以从避开共振频率这一理论来初步评价系统的隔振性能。目录 文尾口口口 m工程地质计算机应用 200年1 期总33期 - 应用ATL计算结构自振频率和振型的一种方法 关文阁 杨黎萌 魏翠玲(河北工程学院土木工程系河北邯郸 05608） 【摘要】 本文从质量归一化原理出发，采用MATAB工具箱中i函数，推导出一个新的求解多质点弹性体系自振频率和振型的方法。算例表明该方法比传统的雅可比方法更简捷更易于应用。 【关键词】自振频率振型 雅可比法 特征值法 Matlab 当采用地震反应谱方法计算水平地震作用标准值时，需要求得模型结构的多个主振型及其相应的自振频率(周期）。因此,计算多质点弹性
5、体系的自由振动（包括自振周期、振型等)是进行结构抗震设计的必要步骤。 1基本理论多质点弹性体系的无阻尼自由振动方程 (1） 式中： 为体系刚度矩阵; 为体系质量矩阵。 方程（）左乘 整理后得 (2) 令 则有 (3a) 或 （3b） 这是一个求特征值和特征向量问题。该方程非零解的充要条件,是它的系数行列式等于零,即 (4) 式(4）称为方阵 的特征方程。 称为方阵 的特征值或特征根。将所求得的 个 逐个回代到式(3b),解出 , 称为方阵 与 相对应的特征向量，也就是所要求解的第 振型。因此,求解体系的自振频率与振型问题也就是求解方阵 的特征值和特征向量问题。再利用公式(）求出体系的频率。 (
6、5) 1.雅可比法 雅可比（Jabi)法可以求解实对称阵的特征值和特征向量。对式(4)首先需要把 作对称化处理。令 () 式中 则 （7) 代入式(2）,得 等式两边左乘 整理后得 即 (8) 式中 为一实对称矩阵。矩阵与 有相同的特征值，但它们的特征向量之间存在式(4）的关系，所以,振型可用式（)求得,即 (） 用雅可比方法求解实对称矩阵 的特征值和特征向量的基本原理是，寻找一个正交矩阵 ，使 (0) 式中, 为一对角矩阵。这时矩阵 的 个对角元素就是对称矩阵 的 个特征值；正交矩阵 中的第 列就是与对角矩阵 中第 个对角元素对应的特征向量。所以,雅可比法实际上是运用平面旋转变换的方法消去
7、矩阵中的非对角元素使其对角化。具体步骤参见文献1。1.2本文方法本文采用MATLAB程序中i函数求 特征矩阵 和特征值 ,应用质量归一化原理对特征矩阵 变形就得到体系的振型矩阵 。再按（5)求得自振频率。 由质量归一化 (11) 令振型矩阵 表示为 （2) 把(1)带入()得 (13) 式中 表示由质量归一化原理求得,为特征矩阵转化到振型矩阵的系数，为一对角阵。所以,多质点弹性体系的振型矩阵 可按(2）计算。 算例 设计长4m的钢筋混凝土悬臂梁模型。混凝土强度标号为C0,弹性模量 为210GPa,截面面积A为002040000mm2，重量密度q为2(.m-)。将悬臂梁均匀离散为2单元,考虑横向
8、和转动位移,该单元为四个自由度。用雅可比法和本文方法分别计算其自由振动频率和振型。 算例中 、 的具体求解见文献2，ACOI法与本文方法所求特征值与特征向量见表。 结论 本文介绍了求解多质点自振频率和振型的一些方法,并推导出一个新的求解多质点振频率和振型的方法。该方法在理论推导中应用了质量归一化原理，计算中采用了MATB程序中eig函数。最后，通过一个悬臂梁算例，与传统的雅可比方法所得结果进行对比,结论表明本文方法具有程序简洁,计算效率快，计算结果精确（可精确到115)等优点。 表 本文方法(不迭代)与Jacbi法（迭代9000次)计算结果对比 Frucy（/s) 1st model 2n m
9、ode rdmodl 4th de 本文(103） Jacoi(103)迭代000次 Jcob(03)迭代9000次 本文 acbi 本文 Jacbi 本文 acb 本文 Jcob 11482 .1481 1.482 -0.047 0.047 -0.0114 -.0114 0.02 .01 -0.04 -0339 0.395 0.326 0.956 -02 0.2455 0.21470.47 -011 -00097 0.0291 -0.0290 10 0.2694 0111 -0.1886 0.19 0112 0.123 -0.11 -0100 .101 -0.10 .0185 0.016 0018 -.914 .910 -0.28 -02708 0115 0.116 -0044 -0.01 注:上表中Jacb法所求振型为迭代900次所得数据。 （收稿日期：003-11-；mail: ） 参 考 文 献 1高振世等.建筑结构抗震设计M.北京:中国建筑工业出版社，1997 夸克工作室.有限元分析基础篇ASS 和atlabM.北京:清华大学出版社00. - 目录 文首
