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1、问题12 三角形中的不等问题一、考情分析根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问.二、经验分享(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为这一限制条件(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围三、知识拓展(1)若ABC是锐角三角形,则,、(2)若ABC中,若A是锐角,则；若A是钝角,则(3) ABC中,若,则, , =.(4)若成等差
2、数列,则.四、题型分析(一) 角或角的三角函数的范围或最值【例1】在中，角、的对边分别是、，若，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tanA3tanB，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解【解析】acosBbcosA，由正弦定理化简得：sinAcosBsinBcosAsinCsin（A+B）sinAcosBcosAsinB，整理得：sinAcosB3cosAsinB，cosAcosB0，tanA3tanB；则222可得的最小值为故选D【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界
3、性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值. 【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有 配方法；换元法；不等式法；图象法；函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将表示为关于的函数,再根据方法解答的.【小试牛刀】的内角所对的边分别为，已知，则的最小值为_【答案】 【解析】因为，所以，因为，所以，由余弦定理，得，即.(三) 周长的范围或最值【例3】在锐角中, ,.（1）若的面积等于,求、；（2）求的周长的取值范围.【分析】（1）利用已知条件通过
4、正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可（2）由正弦定理得, ,记周长为,则,又,为锐角三角形, .【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.【小试牛刀】中,角、所对的边为、,且（1）求角；（2）若,求的周长的最大值【答案】（1）；（2）6 (四) 面积的范围与最值【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ中,POQ90,OP2,点M在线段PQ上(1)若,求PM的长；(2)若点N在线段MQ上,且MON30,问：当POM取
5、何值时,OMN的面积最小？并求出面积的最小值【分析】第(1)题利用余弦定理求MP的长,难度不大；第(2)题求OMN的面积最小值,前面的要求也很明确：以POM为自变量,因此,本题的中点就是如何将OMN的面积表示为POM的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM和ON的长表示为POM的函数是关键.【解析】(1)在中, ,由余弦定理得, ,得, 解得或 由,不妨设外接圆的半径R3则OAOBOC3cosCOD,OD1,DC2B(2,0),C(2,0),O(0,1),A(m,n)则ABC外接圆的方程为：x2(y1)29(*),(m,1n)x(2m,n)y(2m,n),时,否则,由图可知
6、是不可能的.可化为,代入(*)可得,化为18(xy)932xy,【答案】D【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题.【小试牛刀】已知M是ABC内的一点，且=4，BAC=30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为1，x，y，则的最小值是（）A20 B18 C16 D9【答案】D【解析】因为=4，BAC=30，所以。所以。 因为MBC，MCA和MAB的面积分别为1，x，y，所以，所以 。所以。当且仅当 即时，上式取“=”号。所以， 时，取最小值9.故选
7、D。 7在中, 分别为所对的边,若函数有极值点,则的最小值是（ ）A. 0 B. C. D. -1【答案】D【解析】,f（x）=x2+2bx+（a2+c2-ac）,又函数有极值点,x2+2bx+（a2+c2-ac）=0有两个不同的根,=（2b）2-4（a2+c2-ac）0,即aca2+c2-b2,即ac2accosB；即cosB,故B的范围是（所以 ,当时的最小值是-1,故选D8在中,角的对边分别为,且,若的面积为,则的最小值为（ ）A. 28 B. 36 C. 48 D. 56【答案】C9锐角中,内角, , 的对边分别为, , ,且满足,若,则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案
8、】A【解析】,由正弦定理可得, ,化为,由余弦定理可得,为锐角,可得, 由正弦定理可得,可得, ,可得, ,可得,故选A.10.在锐角中,若,则的范围是（,分别为角,的对边长）（ ）A B C. D【答案】A11.如图所示,在平面四边形中, , ,为正三角形,则面积的最大值为_【答案】【解析】在ABC中,设ACB=,ACB=,由余弦定理得：AC2=12+22212cos=54cos,ACD为正三角形,CD2=54cos,由正弦定理得： ,ACsin=sin,CDsin=sin,(CDcos)2=CD2(1sin2)=CD2sin2=54cossin2=(2cos)2BAC,为锐角,CDcos=
9、2cos,当时,. 17在中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且求的值；设，求的取值范围18在中，内角，所对的边分别为，且.（）求角；（）若，求面积的最大值.【解析】（）由已知及正弦定理得：， ，. （）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.面积的最大值为.19ABC的内角ABC的对边分别为a，b，c，己知b（casinC）。（1)求角A的大小；(2）设b=c，N是ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，如图，若BN=4，CN=2，求四边形ABNC面积的最大值（2）在BCN中，由余弦定理得BC2=NB2+NC2-2NBNCcosN， BN=4，CN=2， BC2=16+4-16cosN =20-16cosN 由（1）和b=c，得ABC是等腰直角三角形，于是AB=AC=BC， 四边形ABCD的面积S=SABC+SBCN= = 当N=时，S取最大值，即四边形ABCD的面积的最大值是
